

On note les ensembles de solutions.
donc :
donc :
donc :
donc :
donc :
donc :

C’est dès le début que tout va mal dans cette résolution : on ne peut pas effectuer les produits en croix dans une inéquation sans information sur les signes des dénominateurs !
Si l’on sait que et
désignent deux réels non nuls et de même signe, alors pour tout couple
de réels :

Mais si par exemple et
alors cette équivalence cesse d’être vraie.
A présent, résolvons l’inéquation proposée.
Pour tout :
Le trinôme


D’une part, donc
D’autre part, et
donc
En posant aussi on peut construire le tableau de signe ci-dessous :

En conclusion, l’ensemble de solutions est :
A titre indicatif, voici l’allure du graphe de

On voit, indiqué en vert clair au bas du graphe, une représentation de :


On note
et
les ensembles de solutions.
- Pour tout
:
sont :
est solution si, et seulement si
et
intérieur à
ou bien si
et
extérieur à
autrement dit :
- Pour tout
:
sont :
- Pour tout
:

Le principe du calcul est le suivant. Considérons un trinôme avec
et
Notons
ses racines, avec
On sait que, pour tout :
et, par conséquent, que :
Ceci permet de décider, pour un réel


Dans le cas particulier proposé, on calcule :
Ainsi,





Il faut déjà que pour qu’il s’agisse d’un “vrai” trinôme (pour
l’équation est du premier degré et ne possède évidemment qu’une seule solution). En notant
le discriminant, il faut en outre que :
c’est-à-dire :
ou encore :
Les racines de


Notons le discriminant du trinôme :
On cherche les réels pour lesquels :
Les racines du trinôme sont :

On sait (somme et produit des racines d’un trinôme) que :
De même :
Enfin :

Cet question est présentée de manière visuelle dans cette vidéo que je vous invite à consulter.
Le sommet de la parabole est le point d’abscisse :
Il faut maintenant éliminer le paramètre entre ces deux relations, afin d’obtenir une équation cartésienne du lieu de
lorsque
varie. En remplaçant
par
dans
on obtient :
Lorsque parcourt
on voit avec la relation
qu’il en va de même pour
Le lieu cherché est donc la parabole d’équation
toute entière.

- On suppose que
et que
n’est pas un carré parfait. En utilisant le test des racines rationnelles, on voit que si l’équation
possédait une solution rationnelle, celle-ci serait de la forme
vérifiant les conditions :
et donc
serait un entier … ce qui est exclu ! Ceci prouve que
est irrationnel.
- On a montré au point précédent qu’étant donné un entier naturel
si
est rationnel, alors
est un carré parfait.
- Le carré d’un nombre impair est congru à 1 modulo 8. Par conséquent :
et
et donc
- Les solutions de l’équation
sont :
ou
est rationnel, alors l’autre aussi et donc
aussi. Or :
D’après le 2), ceci impose que
est un carré parfait; or un carré parfait est congru à
ou
modulo
En outre
est impair et donc
: ceci est en contradiction avec le calcul du 3).
Finalement, les solutions desont toutes deux irrationnelles.
Si un point n’est pas clair ou vous paraît insuffisamment détaillé, n’hésitez pas à poster un commentaire ou à me joindre via le formulaire de contact.