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exercice 1 facile

Compléter :

    \[a^{4}+4b^{4}=\left(a^{2}+2b^{2}\right)^{2}-\cdots\]

exercice 2 facile

Comme p est impair, alors p-1 et p+1 sont deux nombres pairs consécutifs.

Donc p^{2}-1 est multiple de 8 …

exercice 3 facile

Un palindrome possédant un nombre pair de chiffres décimaux ressemble à :

    \[N=a_{0}a_{1}\cdots a_{r-1}a_{r-1}\cdots a_{1}a_{0}\]


Un tel entier est multiple de 11 : à détailler !

La condition « x et y sont amicaux » équivaut à :

    \[\sigma\left(x\right)=\sigma\left(y\right)=x+y\]

\sigma\left(x\right) désigne la somme des diviseurs positifs de x,

Développer \left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right).

Penser à l’identité remarquable :

    \[ a^{n}-b^{n}=\left(a-b\right)\left(a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots+ab^{n-2}+b^{n-1}\right)\]


pour factoriser 2^{p}-1 dans le cas où p est composé.

Les seuls coefficients binomiaux premiers sont les \binom{n}{1}=\binom{n}{n-1}, avec n premier.

Pour le prouver, considérer \binom{n}{p} avec 2\leqslant p\leqslant n/2 et utiliser la « formule du pion » : p\binom{n}{p}=n\binom{n-1}{p-1}.

Formule du pion + théorème de Gauss pour la première question.

Récurrence sur n pour la seconde.

exercice 9 difficile

Le produit :

    \[ \prod_{k=0}^{n-1}\left(2^{2^{k}}+1\right)=\prod_{k=0}^{n-1}\frac{\left(2^{2^{k}}+1\right)\left(2^{2^{k}}-1\right)}{2^{2^{k}}-1}\]


se « télescope » !


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