Exercices sur le calcul de dérivées – 01

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Neuf exercices sur la dérivation des fonctions numériques (fiche 01)

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Note : les exercices 5, 6 et 8 supposent connu le principe de récurrence.
On pourra au besoin consulter l’article « Qu’est-ce qu’une preuve par récurrence ? »

exercice 1 facile

Calculer les dérivées de chacune des fonctions suivantes :

    \[\begin{matrix} A\left(x\right)=x^{3}+x^{2}-2 & ; & B\left(x\right)=\left(x^{2}+1\right)^{2} & ; & C\left(x\right)=\left(x+1\right)^{11}\\\\ {\displaystyle D\left(x\right)=\frac{2}{x+1}} & ; & {\displaystyle E\left(x\right)=\frac{x+1}{x+2}} & ; & {\displaystyle F\left(x\right)=\frac{x^{3}}{x+1}} \end{matrix}\]

exercice 2 facile

Calculer les dérivées de chacune des fonctions suivantes :

    \[\begin{matrix}{\normalcolor a\left(x\right)=x^{7}\left(1-x^{7}\right)} & ; & {\normalcolor b\left(x\right)=x\left(x+1\right)\left(x+2\right)} & ; & {\normalcolor c\left(x\right)=\left(x^{2}+x-2\right)^{7}}\\\\{\displaystyle d\left(x\right)=\frac{1}{x^{2}+1}} & ; & {\normalcolor {\displaystyle e\left(x\right)=\frac{x}{x^{4}+1}}} & ; & f\left(x\right)={\displaystyle \frac{\left(x+1\right)^{3}-3x^{2}}{\left(2x+1\right)^{2}-4x^{2}}}\end{matrix}\]

exercice 3 facile

Déterminer le sens de variations de la fonction :

    \[ F:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},\thinspace x\mapsto\frac{1-x}{x^{2}+1}\]

Trouver toutes les applications dérivables f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} vérifiant :

    \[ \forall x\in\mathbb{R},\thinspace f'\left(x\right)=\frac{x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}\]

Montrer, par récurrence, que pour tout n\geqslant2, si u_{1},\cdots,u_{n}:I\rightarrow\mathbb{R} sont toutes dérivables, alors u_{1}+\cdots+u_{n} est dérivable et :

    \[ \left(u_{1}+\cdots+u_{n}\right)'=u_{1}'+\cdots+u_{n}'\]

Montrer, par récurrence, que si u:I\rightarrow\mathbb{R} est dérivable et si n est un entier naturel non nul, alors :

    \[\left(u^{n}\right)'=n\thinspace u^{n-1}u'\]

Calculer, sans développer ce polynôme, la dérivée de :

    \[P:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},\thinspace x\mapsto\left(\left(x^{2}+1\right)^{3}+1\right)^{4}\]

Trouver une formule pour la dérivée du produit de n fonctions (n étant un quelconque entier supérieur ou égal à 2).

exercice 9 difficile

Les courbes d’équations y=x^{2}+x+1 et xy=1 se coupent en un point A. Montrer que la distance de A à l’origine est inférieure à 2.

Bien entendu, l’usage d’une calculette ou d’un ordinateur est prohibé 🙂

Cliquer ici pour accéder aux indications.
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