Après avoir testé successivement plusieurs combinaisons, j’ai trouvé que seule la fonction nulle convient
Tout tourne autour de f(0), en prenant x = -f(y) on en déduit que f(0) vaut 0 ou -1.
La solution f(0) = -1 est rapidement écartée (prendre x = 2 puis 0 avec y = 0) donc f(0) = 0
En reprenant l’équation avec y = 0, on voit que f(|x|) = 0 pour tout x
Enfin, avec x = 1, on en déduit que f(y) = 0 pour tout y!
vérifiant ![\[\forall\left(x,y\right)\in\mathbb{R}^{2},\thinspace f\left(\left|x+f\left(y\right)\right|\right)=x\thinspace f\left(y\right)+y\thinspace f\left(x\right)\]](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1d27aaec7fa98547819fe94d8cf024d3_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
**SPOILER**
Après avoir testé successivement plusieurs combinaisons, j’ai trouvé que seule la fonction nulle convient
Tout tourne autour de f(0), en prenant x = -f(y) on en déduit que f(0) vaut 0 ou -1.
La solution f(0) = -1 est rapidement écartée (prendre x = 2 puis 0 avec y = 0) donc f(0) = 0
En reprenant l’équation avec y = 0, on voit que f(|x|) = 0 pour tout x
Enfin, avec x = 1, on en déduit que f(y) = 0 pour tout y!
Bien joué Martin 😉