Challenge 86 : une suite pas si monotone !

Auteur/autrice de la publication :René Adad
Post published:17 décembre 2023
Post category:Challenge

Afin de prouver que $\mathbb{Q}$ est une partie dense de $\mathbb{R},$ une méthode classique consiste, étant donné $x\in\mathbb{R},$ à poser pour tout $n\in\mathbb{N}$ :

$r_{n}=10^{-n}\left\lfloor 10^{n}x\right\rfloor$

et à prouver que la suite $\left(r_{n}\right)_{n\geqslant0},$ dont tous les termes sont rationnels, converge vers $x.$

On peut noter, en outre, qu’il s’agit d’une suite croissante.

Maintenant posons, pour tout entier $n\geqslant1$ :

$s_{n}=\dfrac{\left\lfloor nx\right\rfloor }{n}$

Ne pourrait-on pas simplifier l’argument en considérant la suite $\left(s_{n}\right)_{n\geqslant1}$ plutôt que la suite $\left(r_{n}\right)_{n\geqslant0}$ ?

Une réponse à cette question est que la suite $\left(s_{n}\right)_{n\geqslant1}$ n’est pas croissante en général.

Sauriez-vous confirmer cela ?

Une solution est disponible ici

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Étiquettes : blog de maths, challenge, densité, Math-OS, math-spé, math-sup, monotonie, MP*, MPII, MPSI, partie entière, rationnels, suite convergente, suite oscillante

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Martin Trucchi 14 Avr 2024 Répondre

— ATTENTION SOLUTION —

Il suffit de trouver un réel x et un entier n tel que s_n(x) >= s_n+1(x) ; on peut utiliser le dénominateur à notre avantage : il suffit de trouver un n et un x tel que Ent(nx) = Ent((n+1)x)
Donc nx et nx + x doivent avoir la même partie entière, donc -1 <= x <= 1
Avec x = 1/2, et n = 10, sn(x) = 5/10 = 1/2, tandis que sn+1(x) = Ent(11/2) / 11 = 5/11 < 1/2