Solution pour le challenge 86
Avant toutes choses, révisons nos fondamentaux. Etant donné si l’on pose pour tout
:
![Rendered by QuickLaTeX.com \left(r_{n}\right)_{n\geqslant0}](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-825005cc6dfff0bc55024eae4a79463d_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com x](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f47c0ca630daa11f8093aacc5791a58d_l3.png)
- Pour tout
:
- D’après l’inégalité :
:
est donc bien croissante.
Maintenant considérons la suite de terme général :
![Rendered by QuickLaTeX.com x=\dfrac{3}{2}.](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-97e682fb2264c1d9c1fb4ffdfe616e39_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com n\geqslant1](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7f7b4182cdcb25662bd6fa9413f61256_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com p\in\mathbb{N}^{\star}](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-29455fac5fdd9d0907315abd865e5983_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \rho_{n}<1](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c8c5ae6fa1a8f1a5245716ed7af5d56e_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com n](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a44d662e2fcd865f31268b1147c8a4be_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \rho_{n}>1](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b6c235bd72721a063ac678fd7bccf6b9_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com n](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a44d662e2fcd865f31268b1147c8a4be_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \left(\rho_{n}\right)_{n\geqslant1}](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-cbf3963763c2a601b59f1ed20e0fa67a_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com 1.](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9da1f1bf3c18534306c12adb378ad884_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \left(s_{n}\right)_{n\geqslant1}](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-33b996143c32c1ec015da86d2215372f_l3.png)
Moralité : étant donné la suite
converge vers
mais elle n’est pas croissante en général. Cela dit, son sens de variation n’est pas arbitraire puisque, pour tout
la suite extraite
est croissante !
Pour consulter l’énoncé, c’est ici