Challenge 18 : un entier remarquable

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Le célèbre “petit théorème de Fermat” stipule que, si p>1 est un nombre premier, alors pour tout entier naturel n :

    \[n^p\equiv n\pmod{p}\]

La réciproque de ce théorème est fausse, car il existe des entiers naturels q>1 non premiers mais vérifiant n^q\equiv n\pmod{q} pour tout n\in\mathbb{N}.

Il se trouve que le plus petit tel entier est 561. Sauriez-vous prouver qu’effectivement, la congruence n^{561}\equiv n\pmod{561} est vérifiée pour tout n\in\mathbb{N} ?

Une solution est disponible ici

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