Challenge 18 : un entier remarquable | Math-OS

Challenge 18 : un entier remarquable

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Le célèbre “petit théorème de Fermat” stipule que, si $p>1$ est un nombre premier, alors pour tout entier naturel $n$ :

$n^p\equiv n\pmod{p}$

La réciproque de ce théorème est fausse, car il existe des entiers naturels $q>1$ non premiers mais vérifiant $n^q\equiv n\pmod{q}$ pour tout $n\in\mathbb{N}$ .

Il se trouve que le plus petit tel entier est 561. Sauriez-vous prouver qu’effectivement, la congruence $n^{561}\equiv n\pmod{561}$ est vérifiée pour tout $n\in\mathbb{N}$ ?

Une solution est disponible ici

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Tags: 561, Carmichaël, challenge, Math-OS, petit théorème de Fermat

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