Solution pour le challenge 18
L’une des deux clefs de ce qui suit est la célèbre identité remarquable :


Dans le cas particulier où sont entiers, cette formule nous montre que
est un diviseur de
Cela dit, on peut écrire, pour tout :

➭ Tout d’abord, et donc :

➭ Ensuite, donc :

➭ Enfin, et donc :

On applique maintenant, trois fois de suite, le petit théorème de Fermat :
➭ Comme est premier, alors
et donc d’après
:
➭ Comme est premier, alors
et donc d’après
:
➭ Comme est premier, alors
et donc d’après
:
Pour finir, les entiers 3, 11 et 17 sont deux à deux premiers entre eux.
Il résulte donc de (1′), (2′) et (3′) que :
Petite note « culturelle » …
Les entiers composés (c’est-à-dire non premiers), plus grands que 1 et qui vérifient
pour tout
s’appellent les nombres de Carmichaël, en l’honneur du mathématicien nord-américain R. D. Carmichael (1879 – 1967) qui s’est penché sur ces êtres étranges.
En 1994, W.R. Alford, A. Granville et C. Pomerance prouvèrent l’existence d’une infinité de nombres de Carmichaël. Plus précisément, ils démontrèrent que le nombre de nombres de Carmichaël inférieurs ou égaux à
vérifie
pour tout
assez grand.
Pour consulter l’énoncé, c’est ici