Challenge 17 : écarts entre termes consécutifs

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On considère une suite réelle (u_n)_{n\geqslant1} et l’on pose pour tout entier n\geqslant1 :

    \[ X_n=\frac 1n\sum_{k=1}^nu_k \]

Le nombre X_n est donc la moyenne arithmétique des n premiers termes de la suite (u_n)_{n\geqslant1}.

Il s’agit de prouver qu’en contrôlant les écarts entre termes consécutifs de la suite u, on contrôle nécessairement ceux de la suite X. Plus précisément :

Si

    \[ \forall n\geqslant1,\,\vert u_{n+1}-u_n\vert\leqslant 1 \]

alors

    \[ \forall n\geqslant1,\,\vert X_{n+1}-X_n\vert\leqslant\frac12 \]


 

Une solution est disponible ici.

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