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Solution pour le challenge 17


Il est crucial de faire apparaître les écarts \vert u_{k+1}-u_{k}\vert, car ils sont tous majorés par 1 et c’est la seule hypothèse que nous ayons.

Pour cela, on effectue une transformation d’Abel, c’est-à-dire en quelque sorte une “intégration par parties discrète” :

    \begin{eqnarray*}& &\sum_{k=1}^{n+1}u_{k}\\& = & \sum_{k=1}^{n+1}\left[k-\left(k-1\right)\right]u_{k}\\& = & \sum_{k=1}^{n+1}ku_{k}-\sum_{k=0}^{n}ku_{k+1}\end{eqnarray*}

et donc (le terme d’indice 0 dans la dernière somme étant nul) :

    \begin{eqnarray*}& &\left(n+1\right)u_{n+1}-\sum_{k=1}^{n+1}u_{k}\\&=&\sum_{k=1}^{n}k\left(u_{k+1}-u_{k}\right)\end{eqnarray*}


On divise alors chaque membre par n\left(n+1\right), ce qui donne :

    \[\frac{u_{n+1}}{n}-\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)\sum_{k=1}^{n+1}u_{k}\]

    \[=\frac{1}{n\left(n+1\right)}\sum_{k=1}^{n}k\left(u_{k+1}-u_{k}\right)\]

c’est-à-dire :

\displaystyle{\boxed{X_{n+1}-X_{n}=\frac{1}{n\left(n+1\right)}\sum_{k=1}^{n}k\left(u_{k+1}-u_{k}\right)}}

On applique maintenant l’inégalité triangulaire :

    \begin{eqnarray*}& &\left|X_{n+1}-X_{n}\right|\\& \leqslant & \frac{1}{n\left(n+1\right)}\sum_{k=1}^{n}k\left|u_{k+1}-u_{k}\right|\\& \leqslant & \frac{1}{n\left(n+1\right)}\sum_{k=1}^{n}k\end{eqnarray*}


et comme {\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k=\frac{n\left(n+1\right)}{2},} on conclut que :

    \[\boxed{\left|X_{n+1}-X_{n}\right|\leqslant\frac{1}{2}}\]

En outre, cette majoration est optimale puisque si u_{n}=n pour tout n\geqslant1, alors l’hypothèse est bien vérifiée et, pour tout n\geqslant1 :

    \[X_{n}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n+1}{2}\]

d’où :
\displaystyle{X_{n+1}-X_{n}=\frac{n+2}{2}-\frac{n+1}{2}=\frac{1}{2}}


Pour consulter l’énoncé, c’est ici

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