Solution pour le challenge 17
Il est crucial de faire apparaître les écarts , car ils sont tous majorés par 1 et c’est la seule hypothèse que nous ayons.
Pour cela, on effectue une transformation d’Abel, c’est-à-dire en quelque sorte une « intégration par parties discrète » :
On divise alors chaque membre par
![Rendered by QuickLaTeX.com n\left(n+1\right),](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-301c87932f994046ff65a111801c5d72_l3.png)
c’est-à-dire :
On applique maintenant l’inégalité triangulaire :
et comme
![Rendered by QuickLaTeX.com {\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k=\frac{n\left(n+1\right)}{2},}](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7795a52b118b2a37cc9c8dd91604c1a8_l3.png)
En outre, cette majoration est optimale puisque si pour tout
alors l’hypothèse est bien vérifiée et, pour tout
:
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle{X_{n+1}-X_{n}=\frac{n+2}{2}-\frac{n+1}{2}=\frac{1}{2}}](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-513405e9857828d8f79f0395a08fdef0_l3.png)
Pour consulter l’énoncé, c’est ici