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Solution pour le challenge 17

Il est crucial de faire apparaître les écarts \vert u_{k+1}-u_{k}\vert, car ils sont tous majorés par 1 et c’est la seule hypothèse que nous ayons.

Pour cela, on effectue une transformation d’Abel, c’est-à-dire en quelque sorte une « intégration par parties discrète » :

    \begin{eqnarray*}& &\sum_{k=1}^{n+1}u_{k}\\& = & \sum_{k=1}^{n+1}\left[k-\left(k-1\right)\right]u_{k}\\& = & \sum_{k=1}^{n+1}ku_{k}-\sum_{k=0}^{n}ku_{k+1}\end{eqnarray*}

et donc (le terme d’indice 0 dans la dernière somme étant nul) :

    \begin{eqnarray*}& &\left(n+1\right)u_{n+1}-\sum_{k=1}^{n+1}u_{k}\\&=&\sum_{k=1}^{n}k\left(u_{k+1}-u_{k}\right)\end{eqnarray*}


On divise alors chaque membre par n\left(n+1\right), ce qui donne :

    \[\frac{u_{n+1}}{n}-\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)\sum_{k=1}^{n+1}u_{k}\]

    \[=\frac{1}{n\left(n+1\right)}\sum_{k=1}^{n}k\left(u_{k+1}-u_{k}\right)\]

c’est-à-dire :

\displaystyle{\boxed{X_{n+1}-X_{n}=\frac{1}{n\left(n+1\right)}\sum_{k=1}^{n}k\left(u_{k+1}-u_{k}\right)}}

On applique maintenant l’inégalité triangulaire :

    \begin{eqnarray*}& &\left|X_{n+1}-X_{n}\right|\\& \leqslant & \frac{1}{n\left(n+1\right)}\sum_{k=1}^{n}k\left|u_{k+1}-u_{k}\right|\\& \leqslant & \frac{1}{n\left(n+1\right)}\sum_{k=1}^{n}k\end{eqnarray*}


et comme {\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k=\frac{n\left(n+1\right)}{2},} on conclut que :

    \[\boxed{\left|X_{n+1}-X_{n}\right|\leqslant\frac{1}{2}}\]

En outre, cette majoration est optimale puisque si u_{n}=n pour tout n\geqslant1, alors l’hypothèse est bien vérifiée et, pour tout n\geqslant1 :

    \[X_{n}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n+1}{2}\]

d’où :
\displaystyle{X_{n+1}-X_{n}=\frac{n+2}{2}-\frac{n+1}{2}=\frac{1}{2}}

Pour consulter l’énoncé, c’est ici

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Cet article a 2 commentaires

  1. Majax 9 Avr 2026 Répondre

    J’ai utilisé une autre méthode qui fonctionne également.

    On montre tout d’abord que X(n+1) - X(n) = (u(n+1) - X(n))/(n+1), ensuite il reste à démontrer que u(n+1) - X(n) \leqslant (n+1)/2.

    Ensuite par inégalités triangulaires on prouve que \vert u(n+1) - u(k)\vert \leqslant n + 1 - k.

    Enfin on utilise u(n+1) = n (u(n+1)/n) et on peut utiliser à nouveau les inégalités triangulaires pour conclure.

    Je ne développe pas beaucoup car je suis au travail et qu’écrire des maths sur téléphone est fastidieux, j’espère que mon raisonnement est assez clair.

    1. René Adad 9 Avr 2026 Répondre

      Votre raisonnement est parfaitement clair et fournit d’ailleurs une preuve légèrement plus rapide. J’en profite pour vous signaler que l’on peut insérer du LaTeX dans les commentaires (je l’ai fait pour le vôtre). Merci pour cette contribution.

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