On considère une suite réelle 
et l’on pose pour tout entier 
:
![\[X_n=\frac 1n\sum_{k=1}^nu_k\]](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-50bfcef4b7297fd2d79d31a87de37b53_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Le nombre 
est donc la moyenne arithmétique des 
premiers termes de la suite .
Il s’agit de prouver qu’en contrôlant les écarts entre termes consécutifs de la suite 
, on contrôle nécessairement ceux de la suite 
. Plus précisément :
Si
![\[ \forall n\geqslant1,\,\vert u_{n+1}-u_n\vert\leqslant 1\]](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ae1d01fd310e1162995edb590937e9e2_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[ \forall n\geqslant1,\,\vert X_{n+1}-X_n\vert\leqslant\frac12\]](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-fe7a28062d4387e97889d99ca8f6455d_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
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