Question

Quelles sont les conditions pour que deux applications commutent ?


Réponse

Considérons quatre ensembles A,B,C,D et deux applications

    \[u:A\to B\qquad\text{ et }\qquad v:C\to D\]

Il est nécessaire qu’on ait :

  • B\subset C pour pouvoir envisager v\circ u
  • D\subset A pour pouvoir envisager u\circ v

Ces deux inclusions étant supposées vraies, on dispose des applications composées :

    \[v\circ u:A\rightarrow D\qquad\text{et}\qquad u\circ v:C\rightarrow B\]

La condition u\circ v=v\circ u se traduit alors par les trois conditions supplémentaires suivantes :

  1. l’égalité des ensembles de départ : A=C
  2. l’égalité des ensembles d’arrivée : B=D
  3. pour tout x\in A : u\left(v\left(x\right)\right)=v\left(u\left(x\right)\right)

Bref, les conditions requises sont :

    \[u,v:A\rightarrow B\quad\text{avec }B\subset A\]

    \[\forall x\in A,\thinspace u\left(v\left(x\right)\right)=v\left(u\left(x\right)\right)\]

Exemple

    \[u,v:\left\{1,2,3\right\}\rightarrow\left\{1,2\right\}\]


définies par :

    \[\left.\begin{array}{ccc}u\left(1\right) & = & 1\\u\left(2\right) & = & 2\\u\left(3\right) & = & 1\end{array}\right\}\qquad\text{et}\qquad\left\{\begin{array}{ccc}v\left(1\right) & = & 2\\v\left(2\right) & = & 1\\v\left(3\right) & = & 2\end{array}\right.\]

On vérifie aisément que u\circ v=v\circ u.

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