Question

Bonjour je suis un élève de seconde et pour un DM de maths on m’a posé la question :

“Trouve un nombre parfait qui a au moins deux diviseurs : 3 et 7”. Je ne trouve absolument pas la réponse. 

Merci pour votre aide.


Réponse

C’est une question pour le moins surprenante…

A moins que votre professeur n’ait fait un exposé préalable sur les nombres parfaits ou bien que vous soyez vous-même déjà initié, c’est n’est pas une question commode en seconde !

Il se trouve que les seuls nombres parfaits connus sont tous de la forme :

    \[E_p=2^{p-1}\left(2^p-1\right)\]

p est un nombre premier pour lequel 2^p-1 est aussi premier.

Il n’existe donc aucun nombre parfait de cette forme qui soit multiple de 3 et de 7 (il faudrait en effet que le nombre premier 2^p-1 soit à la fois multiple de 3 et de 7, ce qui n’est pas possible !).

Les seules solutions éventuelles seraient donc à chercher parmi les nombres parfaits impairs… oui, mais voilà : personne ne sait s’il en existe ! Et d’ailleurs, la conjecture la plus en vogue à ce sujet est qu’il n’en existe pas.

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