Question

Comment résoudre l’équation suivante ?

    \[\left(2x-1\right)\left(x+\sqrt2\right)\left(x-5\right)=1\]


Réponse

Il s’agit d’une équation algébrique du troisième degré. Posons, pour tout x\in\mathbb{R} :

    \[P(x)=\left(2x-1\right)\left(x+\sqrt2\right)\left(x-5\right)\]

A un niveau élémentaire, on ne demande en exercice la résolution dans \mathbb{R} de telles équations que si elles possèdent au moins une solution “évidente” ou, à la rigueur, rationnelle (voir à ce sujet le test des racines rationnelles dans cet article).

Mais ce n’est pas le cas ici ! En effet, si r\in\mathbb{Q}, alors de deux choses l’une :

  • Si r=\frac12 ou r=5, alors d’évidence P(r)=0\neq1.
  • Si r\neq\frac12 et r\neq5 alors \left(2r-1\right)\left(r-5\right) est un rationnel non nul, tandis que r+\sqrt2 est irrationnel et donc P(r) est irrationnel et, en particulier, différent de 1.

Dans tous les cas : P(r)\neq1.

Cela dit, l’étude des variations de la fonction P montre qu’elle est croissante sur ]-\infty,\alpha], décroissante sur [\alpha,\beta] et à nouveau croissante sur [\beta,+\infty[, avec :

    \[\alpha=\frac{11-2\sqrt2-\sqrt{99+22\sqrt2}}{6}\]

et

    \[\beta=\frac{11-2\sqrt2+\sqrt{99+22\sqrt2}}{6}\]

En outre : P(\alpha)>1 et P(\beta)<1. Vu que \displaystyle{\lim_{x\to-\infty}P(x)=-\infty} et \displaystyle{\lim_{x\to+\infty}P(x)=+\infty}, le théorème des valeurs intermédiaires montre que l’équation proposée possède trois solutions réelles. Notons-les a,b,c avec a<b<c.

On peut montrer en utilisant une dichotomie que :

    \[a\simeq-1,372\qquad b\simeq0,440\qquad c\simeq5,017\qquad\text{à }10^{-3}\text{ près.}\]

La résolution explicite est possible (comme pour toute équation du troisième degré) mais les formules donnant les solutions sont compliquées et ne présentent pas vraiment d’intérêt (outre celui d’exister …).

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