Question
Comment résoudre l’équation suivante ?
Réponse
Il s’agit d’une équation algébrique du troisième degré. Posons, pour tout :
A un niveau élémentaire, on ne demande en exercice la résolution dans de telles équations que si elles possèdent au moins une solution « évidente » ou, à la rigueur, rationnelle (voir à ce sujet le test des racines rationnelles dans cet article).
Mais ce n’est pas le cas ici ! En effet, si , alors de deux choses l’une :
- Si
ou
, alors d’évidence
.
- Si
et
alors
est un rationnel non nul, tandis que
est irrationnel et donc
est irrationnel et, en particulier, différent de 1.
Dans tous les cas : .
Cela dit, l’étude des variations de la fonction montre qu’elle est croissante sur
, décroissante sur
et à nouveau croissante sur
, avec :
![Rendered by QuickLaTeX.com P(\alpha)>1](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-19bb87c9646762e5e838011046209227_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com P(\beta)<1](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2214d15aef90e19fe9de3fb8b39d7e7c_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle{\lim_{x\to-\infty}P(x)=-\infty}](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-23511ded8b419ce35c70c65703cdd8db_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle{\lim_{x\to+\infty}P(x)=+\infty}](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-bc24d448970204d4eefe62fc8001e65d_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com a,b,c](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9a410fa05978b35248939816cc3ccbd8_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com a<b<c](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-879e4faf996010bf50690ca701107a6b_l3.png)
On peut montrer en utilisant une dichotomie que :
La résolution explicite est possible (comme pour toute équation du troisième degré) mais les formules donnant les solutions sont compliquées et ne présentent pas vraiment d’intérêt (outre celui d’exister …).