Un exo d’oral X PC 2022

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L’exercice ci-dessous a été posé à l’oral de l’école polytechnique en 2022 (filière PC)

Enoncé

Soient f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} de classe C^{1}.

Soit a\in\mathbb{R} tel que f\left(a\right)=a et \left|f'\left(a\right)\right|>1.

Etant donné s\in\mathbb{R}, on définit une suite par x_{0}=s et \forall n\in\mathbb{N},\thinspace x_{n+1}=f\left(x_{n}\right).

A quelle condition portant sur s cette suite converge-t-elle vers a ?

Solution proposée

La condition cherchée est :

    \[s\in\Omega\underset{\text{def}}{=}\left\{b\in\mathbb{R};\thinspace\exists q\in\mathbb{N},\thinspace f^{q}\left(b\right)=a\right\}\]

autrement dit, s doit appartenir à l’orbite inverse de a.

Cette condition est clairement suffisante (si s\in\Omega, alors la suite est stationnaire : tous ses termes valent a à partir d’un certain rang).

Réciproquement, supposons que la suite \left(x_{n}\right)_{n\geqslant0} converge vers a et montrons que s\in\Omega.

Soit \rho\in\left]1,\left|f'\left(a\right)\right|\right[. Par continuité de \left|f'\right| en a, il existe \eta>0 tel que :

    \[\forall t\in\left]a-\eta,a+\eta\right[,\thinspace\left|f'\left(t\right)\right|\geqslant\rho\]

Par ailleurs, il existe n_{0}\in\mathbb{N} tel que \forall n\geqslant n_{0},\thinspace\left|x_{n}-a\right|<\eta. D’après la formule de accroissements finis, pour un tel n :

    \[\left|x_{n+1}-a\right|=\left|f\left(x_{n}\right)-f\left(a\right)\right|=\left|f'\left(c\right)\right|\thinspace\left|x_{n}-a\right|\]

avec c strictement compris entre a et x_{n} et donc c\in\left]a-\eta,a+\eta\right[, ce qui entraîne :

    \[\left|x_{n+1}-a\right|\geqslant\rho\thinspace\left|x_{n}-a\right|\]

puis (récurrence) :

    \[\forall n\geqslant n_{0},\thinspace\left|x_{n}-a\right|\geqslant\rho^{n-n_{0}}\left|x_{n_{0}}-a\right|\]

Si x_{n_{0}}\neq a, alors cette dernière quantité diverge vers +\infty : absurde. Donc x_{n_{0}}=a, c’est-à-dire f^{n_{0}}\left(s\right)=a. Ainsi s\in\Omega.

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