icone-math-OS-Exos
exercice 1 facile

L’erreur consiste à écrire que le carré de 2x serait

    \[2x^2\]

Il s’agit en fait de (2x)(2x) c’est-à-dire

    \[4x^2\]

exercice 2 facile

Il s’agit ici d’une erreur de signe. Voici le calcul correct :

    \begin{eqnarray*}x^2-(6y+1)^2 & = & (x + (6y+1))(x - (6y+1))\cr& = & (x + 6y+1)(x - 6y-1)\end{eqnarray*}

exercice 3 facile

On ne peut simplifier par x que si x\neq 0. Voici à présent une résolution correcte.

L’équation x^2=2x équivaut à x^2-2x=0, c’est-à-dire x(x-2)=0. Or on sait qu’un produit de facteurs (réels) est nul si, et seulement si, l’un au moins des facteurs est nul. Par conséquent l’équation proposée équivaut à : x=0 ou x=2.

  1. Pour l’équation

        \[\boxed{x^2-4x=0}\]

    on procède exactement comme à l’exercice précédent. Les solutions sont 0 et 4.
  2. Pour

        \[\boxed{10x-x^2=5x^2+x}\]

    on regroupe tous les termes dans un membre, ce qui donne l’équation équivalente 6x^2-9x=0, ou encore (après factorisation par x) : x(6x-9)=0. Finalement, on trouve deux solutions : 0 et \frac32.
  3. L’équation

        \[\boxed{x^2-1=0}\]

    équivaut à (x-1)(x+1)=0 et ses solutions sont -1 et 1.
  4. Même chose pour l’équation

        \[\boxed{(x+1)^2=9}\]

    qui s’écrit (x+1)^2-3^2=0, donc se factorise en (x+4)(x-2)=0. Ses solutions sont -4 et 2.
  5. De même pour

        \[\boxed{(2x+3)^2=(x-4)^2}\]

    On a une différence de deux carrés qui est nulle. Après factorisation, on aboutit à l’équation équivalente (2x+3-(x-4))(2x+3+x-4)=0, c’est-à-dire (x+7)(3x-1)=0. Les solutions sont -7 et \frac13.
  6. Enfin l’équation

        \[\boxed{7x^2+1=0}\]

    n’a pas de solution réelle puisque, pour tout x\in\mathbb{R} : 7x^2+1\geqslant 1.
  1. L’équation

        \[\boxed{x^2+2x+1=0}\]

    s’écrit aussi (x+1)^2=0 et sa seule solution est -1.
  2. L’équation

        \[\boxed{6x-x^2=9}\]

    équivaut à x^2-6x+9=0, c’est-à-dire (x-3)^3=0. L’unique solution est 3.
  3. L’équation

        \[\boxed{4x^2+4x=1}\]

    équivaut à 4x^2+4x-1=0, c’est-à-dire (2x+1)^2-2=0. On factorise, ce qui donne l’équation équivalente (2x+1+\sqrt2)(2x+1-\sqrt2)=0. Les solutions sont donc -1-\sqrt2 et -1+\sqrt2.
  4. Pour l’équation

        \[\boxed{5x(x+1)=(x+1)(x+2)}\]

    il serait maladroit de développer ! On factorise plutôt par x+1, ce qui donne l’équation équivalente (x+1)(5x-(x+2))=0, c’est-à-dire (x+1)(4x-2)=0. Les solutions sont donc -1 et 1/2.
  5. On passe à l’équation

        \[\boxed{(x+3)^2+(x-3)^2=12x}\]

    Après développement et regroupement des termes dans un seul membre, on trouve l’équation équivalente 2x^2-12x+18=0, c’est-à-dire x^2-6x+9=0. On met cette dernière sous la forme (x-3)^2=0 et il apparaît que 3 est la seule solution.
  6. Enfin, la dernière équation s’écrit (après simplification par 2) :

        \[\boxed{9x^2-24x+16=0}\]

    c’est-à-dire (3x-4)^2=0. Sa seule solution est donc 4/3.
  1. L’équation

        \[\boxed{x^2+2x-3=0}\]

    équivaut à (x+1)^2-4=0 et se factorise sous la forme (x+1+2)(x+1-2)=0, c’est-à-dire (x+3)(x-1)=0. Ses solutions sont donc -3 et 1.
  2. L’équation

        \[\boxed{4x^2+x+1=0}\]

    peut se mettre sous la forme (2x+\frac14)^2+\frac{15}{16}=0, dont le membre de gauche ne peut s’annuler (il est, pour tout x réel, minoré par \frac{15}{16}). Il n’y a donc aucune solution.
  3. On transforme l’équation

        \[\boxed{2x^2-5x+2=0}\]

    en divisant chaque membre par 2, puis en faisant apparaître un carré. Elle équivaut ainsi à (x-\frac54)^2-\frac9{16}=0, qui se factorise pour donner (x-2)(x-\frac12)=0. Les solutions sont donc \frac12 et 2.
  4. Pour l’équation

        \[\boxed{(x-2)^2=x}\]

    on développe et on regroupe, pour obtenir l’équation équivalente x^2-5x+4=0, qui peut s’écrire (x-\frac52)^2-\frac94=0, c’est-à-dire (x-\frac52)^2-(\frac32)^2=0. On factorise et on obtient l’équation équivalente (x-4)(x-1)=0. Les solutions sont donc 1 et 4.
  5. On transforme l’équation

        \[\boxed{3x^2-1=4(x+\frac12)^2}\]

    en développant le membre de droite puis en regroupant les termes dans un seul membre. Il vient x^2+4x+2=0, que l’on met sous la forme (x+2)^2-2=0. On factorise pour obtenir l’équation équivalente (x+2+\sqrt2)(x+2-\sqrt2)=0. Les solutions sont -2-\sqrt2 et -2+\sqrt2.
  6. Même méthode pour l’équation

        \[\boxed{(x+1)^2+(x+2)^2=x+3}\]

    ce qui donne l’équation équivalente 2x^2+5x+2=0, ou encore x^2+\frac52x+1=0. On met sous forme canonique : (x+\frac54)^2-\frac9{16}=0. Les solutions sont -2 et -\frac12.

    Accélérons le tempo, puisque c’est toujours la même chose …
  7. Pour

        \[\boxed{3x^2+2x-1=0}\]

    les solutions sont -1 et \frac13.
  8. Pour

        \[\boxed{7x^2+6x=2}\]

    les solutions sont \frac{-3-\sqrt{23}}7 et \frac{-3+\sqrt{23}}7.
  9. Pour

        \[\boxed{\frac{x^2}7+\frac x6-\frac15=0}\]

    les solutions sont \frac72\left(-\frac16-\sqrt{\frac{179}{1260}}\right) et \frac72\left(-\frac16+\sqrt{\frac{179}{1260}}\right)
  1. Pour l’équation

        \[\boxed{\frac 1x+\frac 1{x+1}=\frac 1{x+3}}\]

    on cherche les solutions dans D=\mathbb{R}-\{-3,-1,0\}. En regroupant tous les termes dans un membre et après réduction au même dénominateur (qui est x(x+1)(x+3)), l’équation équivaut à (x+1)(x+3)+x(x+3)-x(x+1)=0, c’est-à-dire x^2+6x+3=0. Le solutions de cette dernière sont -3-\sqrt6 et -3+\sqrt6 (et elles sont retenues puisqu’elles appartiennent à D).
  2. L’équation

        \[\boxed{\frac x{2+\frac 1{x-1}}=1-x}\]

    n’est définie que pour x\in D=\mathbb{R}-\{\frac12,1\}. Pour un tel x, elle équivaut à 3x^2-4x+1=0. Le solutions de cette dernière équation du second degré sont \frac13 et 1, mais 1 est à rejeter. Finalement : une seule solution : \frac13.
  3. Pour résoudre l’équation

        \[\boxed{x^2-5\vert x\vert+6=0}\]

    on dispose essentiellement de deux méthodes. La première consiste à distinguer deux cas selon le signe de x : on est ainsi conduit à résoudre l’équation x^2+5x+6=0 dans ]-\infty,0], l’équation x^2-5x+6=0 dans [0,+\infty[ et à réunir les deux ensembles partiels de solutions. La seconde méthode consiste à changer d’inconnue en posant y=\vert x\vert. L’équation transformée y^2-5y+6=0 possède deux solutions, à savoir y_1=2 et y_2=3. On résout alors chacune des équations \vert x\vert=y_1 et \vert x\vert=y_2 et l’on réunit, là encore, les ensembles de solutions obtenus. D’une manière ou d’une autre, l’équation proposée possède quatre solutions : -3, -2, 2 et 3.
  4. Pour l’équation

        \[\boxed{(x^2-1)^2=9}\]

    on peut factoriser et obtenir l’équation équivalente (x^2-4)(x^2+2)=0. Comme la condition x^2+2=0 n’est vérifiée pour aucun réel x, on parvient à deux solutions seulement : -2 et 2.
  5. L’équation

        \[\boxed{5x-7\sqrt x-12=0}\]

    n’est définie que pour x\geqslant0. En posant y=\sqrt x, l’équation transformée est 5y^2-7y-12=0, dont les solutions sont -1 et \frac{12}5. La première est exclue (car une racine carrée est positive ou nulle). En résolvant \sqrt x=\frac{12}5, on trouve l’unique solution : \frac{144}{25}
  6. Enfin, on traite l’équation

        \[\boxed{x^6-16x^3+64=0}\]

    en posant y=x^3, ce qui nous amène à l’équation transformée (du second degré en y) : y^2-16y+64=0, dont l’unique solution est 8. On doit alors résoudre x^3=8, qui équivaut à (x-2)(x^2+2x+4)=0 et possède donc 2 pour seule solution.

➡ Si m=1, il s’agit d’une équation du premier degré : 3x-1=0. Celle-ci possède \frac13 pour seule solution.

➡ Si m\neq 1, l’équation proposée est du second degré et une CNS (condition nécessaire et suffisante) pour qu’elle possède une solution unique est que son discriminant

    \[\Delta=(2m+1)^2+4(m-1)=4m^2+8m-3\]

soit nul. Cette dernière condition est, à son tour, une équation du second degré (l’inconnue étant cette fois m) dont les solutions sont

    \[m_1=-1-\frac{\sqrt7}{2}\qquad\text{et}\qquad m2=-1+\frac{\sqrt7}{2}\]

Finalement :

    \[\boxed{\text{l'équation possède une solution unique}}\Leftrightarrow\boxed{m\in\{1,m_1,m_2\}}\]

exercice 9 difficile

Par hypothèse :

    \[a\alpha^2+b\alpha+c=0\]

donc, pour tout n\in\mathbb{N} :

    \[a\alpha^{n+2}+b\alpha^{n+1}+c\alpha^n=0\]

Et bien sûr, même chose avec \beta. En ajoutant membre à membre, on obtient :

    \[a\,u_{n+2}+b\,u_{n+1}+c\,u_n=0\]

soit, après division par a et compte tenu des relations \displaystyle{S=-\frac ba} et \displaystyle{P=\frac ca} :

    \[\boxed{u_{n+2}-S\,u_{n+1}+P\,u_n=0}\qquad\left(\star\right)\]

Il ne reste plus qu’à exploiter cette relation de récurrence.

Il est clair que :

    \[u_0=2\qquad\text{et}\qquad u_1=S\]

donc, d’après (\star) :

    \begin{eqnarray*}u_2 & = & S\,u_1-P\,u_0\\& = & S^2-2P\end{eqnarray*}

    \begin{eqnarray*}u_3 & = & S\,u_2-P\,u_1\\& = & S(S^2-2P)-SP\\& = & S^3-3SP\end{eqnarray*}

    \begin{eqnarray*}u_4 & = & S\,u_3-P\,u_2\\& = & S(S^3-3SP)-(S^2-2P)P\\& = &S^4-4S^2P+2P^2\end{eqnarray*}

Remarque

Si de plus a=1 et si b,c sont des entiers (vérifiant donc b^2-4c>0), alors S,P sont aussi des entiers et la formule (\star) montre (par une récurrence immédiate) que :

    \[\forall n\in\mathbb{N},\,u_n\in\mathbb{Z}\]


Si un point n’est pas clair ou vous paraît insuffisamment détaillé, n’hésitez pas à poster un commentaire ou à me joindre via le formulaire de contact.

Partager cet article
  •  
  •  
  •  
  •  

Laisser un commentaire