Exercices sur les éléments propres – 01

Neuf énoncés d’exercices sur les valeurs et les vecteurs propres (fiche 01).

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exercice 1 facile

Déterminer les éléments propres de l’endomorphisme f\in\mathcal{L}\left(\mathbb{R}^{2}\right), canoniquement associé à la matrice :

    \[A=\left[\begin{array}{cc}1 & -2\\1 & 4\end{array}\right]\]

En déduire le calcul de A^{k} pour tout k\in\mathbb{N}.

La formule obtenue est-elle valable si k est un entier négatif ?

exercice 2 facile

On considère la matrice

    \[A=\left[\begin{array}{ccc}2 & -1 & 1\\-1 & 1 & 2\\3 & -2 & 1\end{array}\right]\]

Calculer son polynôme caractéristique. A est-elle diagonalisable dans \mathcal{M}_{3}\left(\mathbb{R}\right) ?

Calculer A^{k} pour tout k\in\mathbb{N}.

Soit n\geqslant1 et soit l’endomorphisme

    \[f:\mathbb{R}_{n-1}\left[X\right]\rightarrow\mathbb{R}_{n-1}\left[X\right],\thinspace P\left(X\right)\mapsto P\left(1-X\right)\]

Trouver une base de vecteurs propres pour f.

Soit E un \mathbb{K}-espace vectoriel de dimension n\geqslant1 et soit f\in\mathcal{L}\left(E\right).

Montrer que si f est nilpotent alors f admet 0 pour unique valeur propre.

Réciproque ? Et si <meta charset="utf-8">\mathbb{K}=\mathbb{C} ?

Soit E un \mathbb{R}-espace vectoriel de dimension n\geqslant1.

On suppose que f\in\mathcal{L}\left(E\right) possède n valeurs propres positives et toutes distinctes. Déterminer le nombre de solutions de l’équation g^{2}=f, d’inconnue g\in\mathcal{L}\left(E\right).

Soit E un \mathbb{R}-espace vectoriel de dimension n\geqslant1 et soit f\in\mathcal{L}\left(E\right).

On suppose f diagonalisable et l’on s’intéresse à l’endomorphisme :

    \[F:\mathcal{L}\left(E\right)\rightarrow\mathcal{L}\left(E\right),\thinspace u\mapsto f\circ u\]

Montrer de deux manières que F est aussi diagonalisable.

Soit E un \mathbb{C}-espace vectoriel de dimension n\geqslant1 et soient f,g\in\mathcal{L}\left(E\right) tels que f\circ g=g\circ f.
Montrer que f et g ont un vecteur propre en commun.

Soit E un \mathbb{R}-espace vectoriel de dimension n\geqslant1 et soit f\in\mathcal{L}\left(E\right). Montrer qu’il existe un sous-espace vectoriel de E, de dimension 1 ou 2 et stable par f.

Soit A\in\mathcal{M}_{n}\left(\mathbb{C}\right). Montrer que si A est diagonalisable alors, pour tout polynôme P\in\mathbb{C}\left[X\right], la condition P(A) nilpotente entraîne P(A)=O.

Réciproque ?

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