Indications pour démarrer les exercices sur la notion d’éléments propres
pour un endomorphisme (fiche 01).
Cliquer ici pour accéder aux énoncés.

icone-math-OS-Exos
exercice 1 facile

Vérifier que la matrice A possède deux valeurs propres distinctes : 2 et 3.

Pourquoi peut-on en déduire qu’elle est diagonalisable dans \mathcal{M}_2(\mathbb{R}) ?

exercice 2 facile

Rappel : pour qu’un endomorphisme d’un \mathbb{K-}espace vectoriel de dimension finie soit diagonalisable, il est nécessaire et suffisant que son polynôme caractéristique soit scindé dans \mathbb{K}\left[X\right] et que, pour chaque valeur propre, la multiplicité de celle-ci dans le polynôme caractéristique soit égale à la dimension du sev propre associé.

Ensuite, pour calculer les puissances de A, une méthode générale repose sur la division euclidienne de X^{n} par un polynôme annulateur de A; on prendra ici son polynôme caractéristique : \left(X-1\right)^{2}\left(X-2\right).

exercice 3 facile

Que peut-on dire de f^{2} ? Que peut-on en déduire quant aux valeurs propres de f ?

Si f\left(x\right)=\lambda x alors f^{q}\left(x\right)=?

Si g\in\mathcal{L}\left(E\right) vérifie g^{2}=f, alors f et g commutent.

Il en résulte que tout sev propre de f est stable par g.

Une piste : si P est un polynôme annulateur de f, il est facile de voir que P est aussi annulateur de F.

Essayer, quitte à restreindre f et g à un sev bien choisi, de se ramener au cas où l’un des deux endomorphismes est une homothétie.

Le cas où f possède des valeurs propres est facile. Et s’il n’en possède pas, on peut considérer un polynôme annulateur et le décomposer en produit de facteurs irréductibles dans \mathbb{R}\left[X\right].
Au fait … quels sont les éléments irréductibles de l’anneau \mathbb{R}\left[X\right] ?

exercice 9 difficile

Au lieu de raisonner matriciellement, on peut considérer l’endomorphisme f\in\mathcal{L}\left(\mathbb{C}^{n}\right) canoniquement associé à A.

Si f est diagonalisable, alors \mathbb{C}^{n} est la somme directe des sev propres de f. Si P\left(f\right) est nilpotent, alors il existe q\geqslant1 tel que \left[P\left(f\right)\right]^{q}\left(x\right)=0 pour tout x\in\mathbb{C}^{n}. Que devient cette égalité si x est un vecteur propre ? Que peut-on en déduire concernant le polynôme P ?


Partager cet article
  •  
  •  
  •  
  •  

Laisser un commentaire