Challenge n° 26 : carrés des nombres de Fibonacci

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Les nombres de Fibonacci sont définis par les relations :

    \[ F_{0}=0,\qquad F_{1}=1 \]

et

    \[ \forall n\in\mathbb{N}^{\star},\thinspace F_{n+1}=F_{n}+F_{n-1} \]

Les premiers termes de cette suite sont :

    \[ 0,\:1,\:1,\:2,\:3,\:5,\:8,\:13,\:21,\:34,\:55,\:89,\:144,\:\cdots \]

Regardons maintenant les carrés de ces entiers :

    \[ 0,\:1,\:1,\:4,\:9,\:25,\:64,\:169,\:441,\:1156,\:3025,\:7921,\:20736,\:\cdots \]

Question 1 : Sauriez-vous trouver une formule de récurrence pour cette suite-là ?

Question 2 : montrer qu’il existe un nombre R>0 (à préciser) et deux polynômes P,Q à coefficients entiers (à préciser également) tels que :

    \[ \forall x\in\left]-R,R\right[,\:\sum_{n=0}^{\infty}F_{n}^{2}x^{n}=\frac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)} \]


 

Une solution est consultable ici.

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