Challenge 26 : carrés des nombres de Fibonacci

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Les nombres de Fibonacci sont définis par les relations :

    \[\boxed{F_{0}=0,\qquad F_{1}=1}\]


et

    \[\boxed{\forall n\in\mathbb{N}^{\star},\thinspace F_{n+1}=F_{n}+F_{n-1}}\]


Les premiers termes de cette suite sont :

    \[0,\:1,\:1,\:2,\:3,\:5,\:8,\:13,\:21,\:34,\:55,\:89,\:144,\:\cdots\]

Regardons maintenant leurs carrés :

    \[0,\:1,\:1,\:4,\:9,\:25,\:64,\:169,\:441,\:1156,\:3025,\:7921,\:20736,\:\cdots\]

Question 1

Sauriez-vous trouver une formule de récurrence pour cette seconde suite ?

Question 2

Montrer qu’il existe un nombre R>0 (à préciser) et deux polynômes P,Q à coefficients entiers (à préciser également) tels que :

    \[\forall x\in\left]-R,R\right[,\:\sum_{n=0}^{\infty}F_{n}^{2}x^{n}=\frac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)}\]


Une solution est disponible ici

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