Challenge 26 : carrés des nombres de Fibonacci

Les nombres de Fibonacci sont définis par les relations :

$F_{0}=0,\qquad F_{1}=1$

$\forall n\in\mathbb{N}^{\star},\thinspace F_{n+1}=F_{n}+F_{n-1}$

Les premiers termes de cette suite sont :

$0,\:1,\:1,\:2,\:3,\:5,\:8,\:13,\:21,\:34,\:55,\:89,\:144,\:\cdots$

Regardons maintenant les carrés de ces entiers :

$0,\:1,\:1,\:4,\:9,\:25,\:64,\:169,\:441,\:1156,\:3025,\:7921,\:20736,\:\cdots$

Question 1

Sauriez-vous trouver une formule de récurrence pour cette suite-là ?

Montrer qu’il existe un nombre $R>0$ (à préciser) et deux polynômes $P,Q$ à coefficients entiers (à préciser également) tels que :

$\forall x\in\left]-R,R\right[,\:\sum_{n=0}^{\infty}F_{n}^{2}x^{n}=\frac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)}$

Une solution est disponible ici