Aujourd’hui, un peu de géométrie plane … 🙂
On se donne deux points distincts 
ainsi qu’un cercle 
passant par 
Est-il possible de construire deux points 
appartenant à 
de telle sorte que 
soit l’orthocentre du triangle 
? Et si oui, comment ?
Une solution est disponible ici
Si on note O le centre du cercle Γ (donc circonscrit au triangle ABC, où B et C sont cherchés), et si on note G le centre de gravité de ABC, on sait que vect(OH) = 3 vect(OG) = vect(OA)+vect(OB)+vect(OC) (voir https://math-os.com/lettre-o-#orthocentre).
Les points A et H étant donnés, il faut donc qu’il existe B,C sur Γ tels que vect(OB)+vect(OC) = vect(AH).
Si on note R le rayon de Γ, et si on fait varier B,C sur Γ, le milieu J de [BC] (défini par 2vect(OJ) = vect(OB)+vect(OC)) décrit le disque intérieur à Γ.
La condition pour qu’il existe B,C tels que vect(AH) = 2vect(OJ) est donc que H appartienne au disque de centre A et de rayon 2R.
Si cette condition est réalisée, l’égalité vect(AH) = 2vect(OJ) fournit J dans le disque intérieur à Γ. La droite OJ est la médiatrice du segment [B;C], donc on trouve B et C à l’intersection de Γ avec la perpendiculaire à (OJ) menée de J.
Remarque: le fait que H soit distinct de A fait que J est distinct de O, et ça assure l’unicité du couple (B,C).
En espérant ne pas avoir dit de bêtise 🙂
Votre solution coïncide à très peu près avec celle qui est à présent en ligne.
J’ai ajouté une petite illustration dynamique montrant les étapes de la construction des points B et C.
Ce programme a été écrit en P5. Pour ceux que ça intéresse, je conseille d’aller faire un tour sur https://p5js.org/