Challenge 25 : polynômes stabilisant les repunits

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Les repunits sont les entiers naturels dont l’écriture décimale ne comporte que le chiffre ‘1’.

On note \mathcal{R} l’ensemble des repunits :

    \[\mathcal{R}=\left\{ 1,\:11,\:111,\:\text{etc }\cdots\right\}\]

Déterminer quels sont les polynômes P à coefficients réels tels que :

    \[\forall r\in\mathcal{R},\thinspace P\left(r\right)\in\mathcal{R}\]

Une solution est disponible ici

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Cet article a 2 commentaires

  1. joseph cesana 26 Avr 2019 Répondre

    Avec l’étudiant du MIT, nous pensons avoir trouvé :
    S = \{10^k, \text{avec }k\geq1\}
    f(x) = 9*x +1
    Un polynôme Q tq Q(s) soit dans S par ex Q(x) = x^n/10^k avec k\leq n

    P qui satisfait P(r) est dans R (comme défini dans l’énoncé) d’où:
    Q = f\circ P\circ f^{-1} et on en déduit P(x) tq P(r) soit dans R

    P(x) = (f^{-1}\circ Q\circ f)(x)
    En appliquant les composées on trouve P(x) = ( (9x + 1)^{n} / (9 * 10^{k}) ) - 1/9

    ceci car f(r) = S pour tout r\in\mathcal{R} et donc f^{-1}(S) = r

    On vérifie pour tout r=\sum_{i=0}^m10^i qu’on insère dans P(x) et on trouve un nombre fait d’une succession de chiffres de 9 divisée par 9 donne donc un élément de R.

  2. joseph cesana 25 Avr 2019 Répondre

    Celui là me semble bien compliqué… j’ai mis un étudiant du MIT sur le coup…. je n’arrive pas à décoller au delà de la décomposition de r en fonction des puissances de 10 ou bien de r(k+1) comparé à r(k)… je suppose bien entendu que P(r) puisse être n’importe quel nombre de \mathcal{R} et r étant un quelconque nombre de \mathcal{R}. Les deux étant différents. De même, P est un élément de \mathbb{R}_n[X]

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