Challenge 16 : une limite évidente ?

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Etant donnée une suite (u_n)_{n\ge1} de réels positifs, on note pour tout n\in\mathbb{N}^\star :

    \[ S_n=\sum_{k=1}^nu_k \]

Il est clair que la suite (S_n)_{n\ge1} ainsi définie est croissante. Elle peut soit diverger vers +\infty, soit converger vers une limite positive : cela dépend évidemment de la suite (u_n)_{n\ge1} considérée.

On demande ici de statuer dans un cas particulier en calculant :

    \[ \lim_{n\to\infty}\left(\vert\sin(1)\vert+\vert\sin(2)\vert+\cdots+\vert\sin(n)\vert\right) \]

Plusieurs méthodes peuvent être envisagées !


Une solution sera bientôt mise en ligne.

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Cet article a 2 commentaires

  1. Voici une idée de démonstration qui me semble juste :
    (1)on peut montrer que sin(n) est dense dans [-1;1] donc a fortiori |sin(n)| est dense dans [0;1](la marge n’est pas assez grande pour en contenir la démonstration)
    (2)soit A ={n appartenant N ; |sin(n)| >0,5}
    (3) d’après 1 card(A) = infini
    (4) donc série(pour n appartenant à N)(|sin(n)|) > série(pour n appartenant à A)(sin(|n|) > card(A)*0.5 > infini

    Qu’on m’excuse pour cette démonstration très peu rigoureuse j’ai ici seulement mis une idée qui me semble bonne

    1. Cela demanderait à être mis en forme, mais c’est une idée tout à fait valable ! Cela dit, on peut faire quelque chose de nettement plus élémentaire (ce qui ne veut pas dire plus facile) en évitant la densité de \{sin(n); n\in\mathbb{N}\} dans [-1,1].
      En tous cas, merci et bravo pour votre participation 😉

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