Solution pour le challenge 16
Méthode 1
Commençons par calculer, pour tout réel
non multiple de
, la somme :
![Rendered by QuickLaTeX.com \[A_{n}=\sum_{k=1}^{n}\cos\left(k\theta\right)\]](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7bf3751a75684c21c9b5b4bc47193465_l3.png)
Il s’agit de la partie réelle de :
![Rendered by QuickLaTeX.com \[G_{n}=\sum_{k=1}^{n}e^{ik\theta}=\sum_{k=1}^{n}\left(e^{i\theta}\right)^{k}\]](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-bcf914ba1f6dc62ef184a1177ae2722c_l3.png)
On reconnaît une somme géométrique de raison différente de 1, puisque :
![Rendered by QuickLaTeX.com \[$e^{i\theta}=1\Leftrightarrow\exists q\in\mathbb{Z};\thinspace\theta=2q\pi\]](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b3fa1d80117bf474497841a88956233d_l3.png)
Par conséquent :
![Rendered by QuickLaTeX.com \[G_{n}=\frac{e^{i\theta}\left(1-e^{in\theta}\right)}{1-e^{i\theta}}\]](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2ad94b6e708e1e4333743f8f387fe800_l3.png)
et la suite

est donc bornée :
![Rendered by QuickLaTeX.com \[\forall n\in\mathbb{N^{\star}},\:\left|G_{n}\right|\leqslant\frac{2}{\left|1-e^{i\theta}\right|}\]](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-cc384629d64b020bfa32b1edbd422dc1_l3.png)
Il en résulte que la suite

est aussi bornée, puisque pour tout

:
![Rendered by QuickLaTeX.com \[\left|A_{n}\right|=\left|\text{Re}\left(G_{n}\right)\right|\leqslant\left|G_{n}\right|\]](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9d1d9d68147245e6b425f47360585c7b_l3.png)
Passons maintenant à :
![Rendered by QuickLaTeX.com \[V_{n}=\sum_{k=1}^{n}\left|\sin\left(k\right)\right|\]](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3db55c3ebc03f39ff1ecf87cd6837173_l3.png)
Tout réel appartenant à
![Rendered by QuickLaTeX.com \left[0,1\right]](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-782fd1646b901eee66bcf61c3c141add_l3.png)
est minoré par son carré. On voit ainsi que, pour tout

:

Comme la suite de terme général

est bornée (prendre

dans ce qui précède), on conclut que :
![Rendered by QuickLaTeX.com \[\boxed{\lim_{n\rightarrow\infty}V_{n}=+\infty}\]](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-00cda8ddd980ffaebb769a6aff9b3840_l3.png)
Méthode 2
Cette méthode est plus « géométrique » que la précédente.
Pour tout entier
notons
l’intervalle ![Rendered by QuickLaTeX.com \left[n\pi+\frac{\pi}{3},n\pi+\frac{2\pi}{3}\right].](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3e08545437ae42cefff80f47e4285e95_l3.png)
D’une part, pour tout
:
![Rendered by QuickLaTeX.com \[\left|\sin\left(t\right)\right|\geqslant\frac{\sqrt{3}}{2}\]](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f5ddc9aa269968c470c524075d4e2a2d_l3.png)
et d’autre part,

est de longueur

dont contient au moins un entier (et probablement un seul pour une majorité d’indices

mais là n’est pas la question). Notons

le plus petit :
![Rendered by QuickLaTeX.com \[p_{n}=\left\lceil \frac{\left(3n+1\right)\pi}{3}\right\rceil\]](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4b883249e2f55a4a4c1974719ab62756_l3.png)
On constate que :

ce qui prouve que :
![Rendered by QuickLaTeX.com \[\lim_{n\rightarrow\infty}V_{p_{n}}=+\infty\]](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-fe5740f944108b251c091b6e8d8f32ab_l3.png)
La suite

est croissante et possède une suite extraite qui diverge vers

. Elle diverge donc, elle aussi, vers
Pour consulter l’énoncé, c’est ici