Challenge 16 : une limite évidente ?

Auteur/autrice de la publication :René Adad
Post published:7 septembre 2018
Post category:Challenge

Etant donnée une suite $(u_n)_{n\geqslant1}$ de réels positifs, on note pour tout $n\in\mathbb{N}^\star$ :

$S_n=\sum_{k=1}^nu_k$

Il est clair que la suite $(S_n)_{n\geqslant1}$ ainsi définie est croissante. Elle peut soit diverger vers $+\infty$ , soit converger vers une limite positive : cela dépend évidemment de la suite $(u_n)_{n\geqslant1}$ considérée.

On demande ici de statuer dans le cas particulier où, pour tout $n\geqslant1$ :

$u_n=\vert\sin(n)\vert$

Plusieurs méthodes peuvent être envisagées …

Une solution est disponible ici

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Étiquettes : blog-de-maths, challenge, cosinus, divergence, limite, Math-OS, minoration, MP*, MPSI, partie entière, PCSI, prépas, série divergente, série numérique, sinus, valeur absolue

Cet article a 2 commentaires

CHARPIN 12 Sep 2018 Répondre

Voici une idée de démonstration qui me semble juste :
(1)on peut montrer que sin(n) est dense dans [-1;1] donc a fortiori |sin(n)| est dense dans [0;1](la marge n’est pas assez grande pour en contenir la démonstration)
(2)soit A ={n appartenant N ; |sin(n)| >0,5}
(3) d’après 1 card(A) = infini
(4) donc série(pour n appartenant à N)(|sin(n)|) > série(pour n appartenant à A)(sin(|n|) > card(A)*0.5 > infini

Qu’on m’excuse pour cette démonstration très peu rigoureuse j’ai ici seulement mis une idée qui me semble bonne
1. René Adad 12 Sep 2018 Répondre
  
  Cela demanderait à être mis en forme, mais c’est une idée tout à fait valable ! Cela dit, on peut faire quelque chose de nettement plus élémentaire (ce qui ne veut pas dire plus facile) en évitant la densité de $\{sin(n); n\in\mathbb{N}\}$ dans $[-1,1].$
  En tous cas, merci et bravo pour votre participation 😉