Qu’est-ce qu’une preuve par récurrence ?
Cet article de vulgarisation présente l'une des principales techniques de démonstration utilisées en mathématiques : la preuve par récurrence.
Challenge 11 : Premier ou non ?
Le challenge n° 11 de Math-OS pose la question suivante : étant donnés quatre entiers naturels a,b,c,d tels que $ad=bc$, se peut-il que a+b+c+d soit un nombre premier ?
Challenge 10 : Sommes des diviseurs
La somme des diviseurs d'un entier naturel n supérieur à 1 est comprise entre n+1 et n(n+1)/2. Cet encadrement est grossier et peut être considérablement amélioré : c'est l'objet du challenge n° 10 de Math-OS.
Mystérieux nombres premiers
Les nombres premiers sont les briques de la théorie des nombres entiers. Pendant 25 siècles, les plus grands esprits ont tenté d'en percer les mystères et de splendides résultats ont été découverts, mais beaucoup de propriétés nous échappent encore.
Challenge 9 : Somme de puissances et divisibilité
La somme des puissances p-èmes des entiers de 1 à n, lorsque p est impair, est multiple de n(n+1)/2. Le challenge n° 9 de Math-OS propose d'établir ce résultat.
Exercices sur les nombres premiers – 01
Neuf exercices de difficulté graduée sur les nombres premiers.
(n+1)(n+2)…(n+k) est multiple de k!
Lorsqu'on multiplie k entiers consécutifs, on obtient invariablement un multiple de la factorielle de k. Cet article propose trois preuves de difficultés inégales de ce résultat.
Challenge 8 : une histoire de bitangente
Le graphe d'une fonction polynomiale de degré 4 peut, dans certains, cas posséder une unique droite "bitangente". Le challenge n°8 de Math-OS propose l'étude d'un exemple.
Challenge 7 : Maximum de ln(1 + x) ln(1 + 1/x)
Quelle peut bien être la valeur maximum de l'expression ln(1+x) * ln(1+1/x) pour x>0 ? C'est le challenge n° 7 du blog math-os :)
Challenge 6 : Majoration d’une somme de série
Challenge n° 6 du blog math-os : la somme de la série de terme général (1-2^(-n)^(2^k) est majorée par n+1. Sauriez-vous le prouver ?