Solution pour le challenge 68
Considérons trois réels et l’application
définie par :
![Rendered by QuickLaTeX.com \varphi\circ\varphi\circ\varphi=-id_{\mathbb{R}}](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-12162c71a0091209b714301726a7b5b9_l3.png)
Le graphe de est représenté ci-dessous (les disques bleus indiquent des points appartennant au graphe, les disques blancs bordés de bleu indiquent des points ne lui appartenant pas) :
![](https://math-os.com/wp-content/uploads/2021/12/challenge-0068-fig-1.png)
Considérons maintenant telle que
soit strictement décroissante. Voici deux conditions qui, ajoutées à cette hypothèse, vont entraîner la décroissance stricte de
:
Condition 1 : la continuité.
En effet, comme est strictement décroissante, elle est injective, ce qui impose à
d’être injective. D’après un théorème classique,
est alors strictement monotone puisque continue et injective. Si
était strictement croissante, ce serait aussi le cas de
Par conséquent,
est strictement décroissante.
Condition 2 : le fait que soit croissante (au sens large).
En effet, supposons non strictement décroissante. Il existerait
tels que :
![Rendered by QuickLaTeX.com f\circ f,](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d3efaa1d325b0a03cf37e5facf73c7f0_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com f\circ f\circ f.](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-49e1d9dcb58b4fed4782355d6bec1565_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com f](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4de78b071f57702a0dfd4345a28e8840_l3.png)
Pour consulter l’énoncé, c’est ici