Solution pour le challenge n° 53

Solution pour le challenge 53

Solution de Michel ARCHAMBAUD, enseignant.

Notons :

$f:\left]0,\frac{\pi}{2}\right]\rightarrow\mathbb{R},\thinspace x\mapsto\frac{1}{\sin^{2}\left(x\right)}-\frac{1}{x^{2}}$

et montrons que $f$ est croissante et possède en 0 une limite finie.

Il en résultera que les réels recherchés sont respectivement :

$\lambda=\lim_{0}f\qquad\text{et}\qquad\mu=f\left(\frac{\pi}{2}\right)$

Pour tout $x\in\left]0,\frac{\pi}{2}\right]$ :

$f\left(x\right)=\frac{N\left(x\right)}{D\left(x\right)}$

avec

$\left\{\begin{array}{ccc}N\left(x\right) & = & x^{2}-\sin^{2}\left(x\right)\\D\left(x\right) & = & x^{2}\sin^{2}\left(x\right)\end{array}\right.$

Or :
$N\left(x\right)=\left(x-\sin\left(x\right)\right)\left(x+\sin\left(x\right)\right)\underset{{\scriptstyle 0}}{\sim}\frac{x^{4}}{3}$
Et : $D\left(x\right)\underset{{\scriptstyle 0}}{\sim}x^{4}$ .

Ainsi :

$\boxed{\lim_{0}f=\frac{1}{3}}$

Par ailleurs, pour tout $x\in\left]0,\frac{\pi}{2}\right]$ :

$f'\left(x\right)=-\frac{2\cos\left(x\right)}{\sin^{3}\left(x\right)}+\frac{2}{x^{3}}$

et cette dernière expression est du même signe que :

$g\left(x\right)=\sin^{3}\left(x\right)-x^{3}\cos\left(x\right)$

Or on sait que, pour tout $x\geqslant0$ :

$\left\{ \begin{array}{ccc}\sin\left(x\right) & \geqslant & {\displaystyle x-\frac{x^{3}}{6}}\\\\\cos\left(x\right) & \leqslant & {\displaystyle 1-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{24}}\end{array}\right.$

d’où :
$\displaystyle{g\left(x\right)\geqslant x^{3}\left[\left(1-\frac{x^{2}}{6}\right)^{3}-1+\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{4}}{24}\right]}$
$\displaystyle{=x^{3}\left(\frac{x^{4}}{24}-\frac{x^{6}}{216}\right)}$
$\displaystyle{=\frac{x^{7}}{24}\left(1-\frac{x^{2}}{9}\right)}$
et donc $g\left(x\right)\geqslant0$ dès que $x\in\left[0,3\right].$

Comme $\frac{\pi}{2}<3,$ on voit ainsi que $f$ est croissante, d’où le résultat annoncé.

Finalement, pour tout $\displaystyle{x\in\left]0,\frac\pi2\right]}$ :

$\boxed{\frac{1}{3}\leqslant f\left(x\right)\leqslant1-\frac{4}{\pi^{2}}}$

et cet encadrement est optimal.

Pour consulter l’énoncé, c’est ici

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Solution de Michel ARCHAMBAUD, enseignant.

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