Solution pour le challenge 53
Solution de Michel ARCHAMBAUD, enseignant.
Notons :
![Rendered by QuickLaTeX.com f](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4de78b071f57702a0dfd4345a28e8840_l3.png)
Il en résultera que les réels recherchés sont respectivement :
Pour tout :
![Rendered by QuickLaTeX.com N\left(x\right)=\left(x-\sin\left(x\right)\right)\left(x+\sin\left(x\right)\right)\underset{{\scriptstyle 0}}{\sim}\frac{x^{4}}{3}](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c218efcdbfe7a9028fa33139aec98aaa_l3.png)
Et :
![Rendered by QuickLaTeX.com D\left(x\right)\underset{{\scriptstyle 0}}{\sim}x^{4}](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-97b7aa224138f9256607433d1aebba1c_l3.png)
Ainsi :
Par ailleurs, pour tout :
Or on sait que, pour tout :
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle{g\left(x\right)\geqslant x^{3}\left[\left(1-\frac{x^{2}}{6}\right)^{3}-1+\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{4}}{24}\right]}](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c91e8c3b2b4e843d9d5bfb06a33e0261_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle{=x^{3}\left(\frac{x^{4}}{24}-\frac{x^{6}}{216}\right)}](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8f48c87a65ce41d85a3553fa2e5ec16c_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle{=\frac{x^{7}}{24}\left(1-\frac{x^{2}}{9}\right)}](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-36756f2c8c02b16acc723e69a7500106_l3.png)
et donc
![Rendered by QuickLaTeX.com g\left(x\right)\geqslant0](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6dab91323894173203e32b634fc88c7f_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com x\in\left[0,3\right].](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-661a80d25c4d7805577c1ed89f43491f_l3.png)
Comme on voit ainsi que
est croissante, d’où le résultat annoncé.
Finalement, pour tout :
Pour consulter l’énoncé, c’est ici