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Solution de Michel ARCHAMBAUD, enseignant.

Notons :

    \[f:\left]0,\frac{\pi}{2}\right]\rightarrow\mathbb{R},\thinspace x\mapsto\frac{1}{\sin^{2}\left(x\right)}-\frac{1}{x^{2}}\]

et montrons que f est croissante et possède en 0 une limite finie.

Il en résultera que les réels recherchés sont respectivement :

    \[\lambda=\lim_{0}f\qquad\text{et}\qquad\mu=f\left(\frac{\pi}{2}\right)\]

Pour tout x\in\left]0,\frac{\pi}{2}\right] :

    \[f\left(x\right)=\frac{N\left(x\right)}{D\left(x\right)}\quad\text{avec }\left\{ \begin{array}{ccc}N\left(x\right) & = & x^{2}-\sin^{2}\left(x\right)\\D\left(x\right) & = & x^{2}\sin^{2}\left(x\right)\end{array}\right.\]


or :

    \[N\left(x\right)=\left(x-\sin\left(x\right)\right)\left(x+\sin\left(x\right)\right)\underset{{\scriptstyle 0}}{\sim}\frac{x^{4}}{3}\]

et

    \[D\left(x\right)\underset{{\scriptstyle 0}}{\sim}x^{4}\]

Ainsi :

    \[\boxed{\lim_{0}f=\frac{1}{3}}\]

Par ailleurs, pour tout x\in\left]0,\frac{\pi}{2}\right] :

    \[f'\left(x\right)=-\frac{2\cos\left(x\right)}{\sin^{3}\left(x\right)}+\frac{2}{x^{3}}\]

et cette dernière expression est du même signe que :

    \[g\left(x\right)=\sin^{3}\left(x\right)-x^{3}\cos\left(x\right)\]

Or on sait que, pour tout x\geqslant0 :

    \[\left\{ \begin{array}{ccc}\sin\left(x\right) & \geqslant & {\displaystyle x-\frac{x^{3}}{6}}\\\\\cos\left(x\right) & \leqslant & {\displaystyle 1-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{24}}\end{array}\right.\]

d’où :

    \begin{eqnarray*}g\left(x\right) & \geqslant & x^{3}\left[\left(1-\frac{x^{2}}{6}\right)^{3}-1+\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{4}}{24}\right]\\& = & x^{3}\left(\frac{x^{4}}{24}-\frac{x^{6}}{216}\right)\\& = & \frac{x^{7}}{24}\left(1-\frac{x^{2}}{9}\right)\end{eqnarray*}

et donc g\left(x\right)\geqslant0 dès que x\in\left[0,3\right].

Comme \frac{\pi}{2}<3, on voit ainsi que f est croissante, d’où le résultat annoncé.

Finalement, pour tout \displaystyle{x\in\left]0,\frac\pi2\right]} :

    \[\boxed{\frac{1}{3}=\lim_{x\to0}f(x)\leqslant f\left(x\right)\leqslant f\left(\frac{\pi}{2}\right)=1-\frac{4}{\pi^{2}}}\]


Pour consulter l’énoncé, c’est ici

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