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Question

Si j’ai besoin de créer un tableau de valeurs pour la fonction f(x)=48/x, je procède comment ?

Dans le tableau, les valeurs doivent être placées ainsi : x / y.


Réponse

L’énoncé de cette question ne précisant pas quelles sont les valeurs de x (ni même leur nombre), je propose d’en choisir une dizaine (en évitant soigneusement la seule valeur interdite : x = 0, puisqu’on ne divise pas par zéro …) :

    \[0,1\quad0,2\quad0,4\quad0,5\quad1\quad2\quad4\quad5\quad10\quad20\]

On donne à x, tour à tour, chacune de ces valeurs et l’on calcule à chaque fois le nombre y=48/x.

Par exemple, pour x=0,2 on trouve :

    \[y=\frac{48}{0,2}=240\]

On obtient ainsi le tableau demandé :

Le graphique ci-dessous montre la représentation graphique de la fonction x\mapsto\frac{48}x. On y a rajouté six petits disques de couleur, qui correspondent aux six derniers points du tableau précédent (il manque les quatre premiers, qui « sortent » du cadre car leur ordonnée est trop grande).

Pour finir, précisons que cette fonction est décroissante sur l’intervalle ]0,+\infty[ (elle l’est aussi sur l’intervalle ]-\infty,0[), ce qui se prouve très simplement :

Etant donnés deux nombres a,b>0 tels que a<b :

    \[\frac{48}a-\frac{48}b=\frac{48(b-a)}{ab}\]

Or, si le numérateur et le dénominateur d’une fraction sont des nombres strictement positifs, il en va de même pour cette fraction. Ainsi, sous l’hypothèse 0<a<b, on voit que :

    \[\frac{48}a>\frac{48}b\]

La stricte décroissance annoncée est établie.

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