Question

Si j’ai besoin de créer un tableau de valeurs pour la fonction f(x)=48/x, je procède comment ?

Dans le tableau, les valeurs doivent être placées ainsi : x / y.


Réponse

L’énoncé de cette question ne précisant pas quelles sont les valeurs de x (ni même leur nombre), je propose d’en choisir une dizaine (en évitant soigneusement la seule valeur interdite : x = 0, puisqu’on ne divise pas par zéro …) :

    \[0,1\quad0,2\quad0,4\quad0,5\quad1\quad2\quad4\quad5\quad10\quad20\]

On donne à x, tour à tour, chacune de ces valeurs et l’on calcule à chaque fois le nombre y=48/x.

Par exemple, pour x=0,2 on trouve :

    \[y=\frac{48}{0,2}=240\]

On obtient ainsi le tableau demandé :

Le graphique ci-dessous montre la représentation graphique de la fonction x\mapsto\frac{48}x. On y a rajouté six petits disques de couleur, qui correspondent aux six derniers points du tableau précédent (il manque les quatre premiers, qui “sortent” du cadre car leur ordonnée est trop grande).

Pour finir, précisons que cette fonction est décroissante sur l’intervalle ]0,+\infty[ (elle l’est aussi sur l’intervalle ]-\infty,0[), ce qui se prouve très simplement :

Etant donnés deux nombres a,b>0 tels que a<b :

    \[\frac{48}a-\frac{48}b=\frac{48(b-a)}{ab}\]

Or, si le numérateur et le dénominateur d’une fraction sont des nombres strictement positifs, il en va de même pour cette fraction. Ainsi, sous l’hypothèse 0<a<b, on voit que :

    \[\frac{48}a>\frac{48}b\]

La stricte décroissance annoncée est établie.

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