Question

Comment calculer explicitement la somme \displaystyle{S_{n}=\sum_{k=0}^{3n}\left\lfloor \frac{k}{3}\right\rfloor } ?


Réponse

D’évidence S_{0}=0.

Supposons maintenant n\geqslant1 et regroupons les termes par paquets de trois. On obtient :

    \[ S_{n}=\sum_{i=0}^{n-1}\left(\left\lfloor \frac{3i}{3}\right\rfloor +\left\lfloor \frac{3i+1}{3}\right\rfloor +\left\lfloor \frac{3i+2}{3}\right\rfloor \right)+\left\lfloor \frac{3n}{3}\right\rfloor\]

c’est-à-dire :

    \[ S_{n}=\sum_{i=0}^{n-1}\left(i+\left\lfloor i+\frac{1}{3}\right\rfloor +\left\lfloor i+\frac{2}{3}\right\rfloor \right)+n\]

ou encore :

    \[ S_{n}=3\left(\sum_{i=0}^{n-1}i\right)+n=\frac{3n\left(n-1\right)}{2}+n\]

et finalement :

    \[ \boxed{S_{n}=\frac{n\left(3n-1\right)}{2}}\]

Notons que cette formule est encore valable pour n=0.

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