Question

Comment calculer explicitement la somme \displaystyle{S_{n}=\sum_{k=0}^{3n}\left\lfloor \frac{k}{3}\right\rfloor }


 

Réponse

Pour tout n\in\mathbb{N}, posons :

    \[ S_{n}=\sum_{k=0}^{3n}\left\lfloor \frac{k}{3}\right\rfloor \]

D’évidence S_{0}=0. Supposons maintenant n\geqslant1 et regroupons
les termes par paquets de trois. On obtient :

    \[ S_{n}=\sum_{i=0}^{n-1}\left(\left\lfloor \frac{3i}{3}\right\rfloor +\left\lfloor \frac{3i+1}{3}\right\rfloor +\left\lfloor \frac{3i+2}{3}\right\rfloor \right)+\left\lfloor \frac{3n}{3}\right\rfloor \]

c’est-à-dire :

    \[ S_{n}=\sum_{i=0}^{n-1}\left(i+\left\lfloor i+\frac{1}{3}\right\rfloor +\left\lfloor i+\frac{2}{3}\right\rfloor \right)+n \]

ou encore :

    \[ S_{n}=3\left(\sum_{i=0}^{n-1}i\right)+n=\frac{3n\left(n-1\right)}{2}+n \]

et finalement :

    \[ \boxed{S_{n}=\frac{n\left(3n-1\right)}{2}} \]

Notons que cette formule est encore valable pour n=0.

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