Question

J’ai écouté avec intérêt votre vidéo sur les identités remarquables et je me demandais quelles sont, en dehors des classiques (a+b)^2=a^2+2ab+b^2, (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 et a^2-b^2=(a-b)(a+b), les identités que l’on peut connaître. Merci d’avance de votre réponse.


 

Réponse

Rappelons déjà qu’on donne le nom “d’identité” à toute égalité algébrique faisant intervenir une ou plusieurs lettre(s) et qui est valable quelles que soient les valeurs attribuées à ces lettres. Bien sûr, cette définition reste vague tant qu’on ne précise pas quel est le domaine où vivent ces variables ! Mais on considère généralement qu’il s’agit du corps des nombres complexes (et les identités sont donc en particulier valables pour toutes les valeurs réelles desdites variables !).

Ensuite, le fait de considérer qu’une identité est “remarquable” a certainement quelque chose d’assez subjectif.

On peut déjà mettre de côté les identités triviales (du genre (x+y)^2=(x+y)^2…), ou encore celles qui apparaissent clairement comme des cas particuliers d’autres identités plus “fondamentales”, comme par exemple : (2x+y)^3=8x^3+12x^2y+6xy^2+y^3.

A ce titre, comme je l’explique dans la vidéo, il est clair que l’identité (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 fait double-emploi avec (a+b)^2=a^2+2ab+b^2, puisque la première se déduit de la seconde en remplaçant b par son opposé.

Je pense qu’il n’est pas possible de dresser une liste exhaustive, mais on peut sans doute s’entendre sur un “minimum syndical”, qui comporterait :

1 – la formule du binôme (de Newton) :

    \[ (a+b)^n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}a^kb^{n-k} \]

et

2 – la formule de factorisation d’une différence de puissances n-èmes :

    \[ a^n-b^n=(a-b)\sum_{k=1}^{n}a^{k-1}b^{n-k} \]

On observera que les identités de base (rappelées plus haut) qu’on enseigne à la fin de collège (ou au début de lycée) ne sont que des cas particuliers de celles-ci (en prenant n=2).

Après, rien n’empêche d’y ajouter des identités plus ou moins “exotiques”, comme :

    \[x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x+jy+j^2z)(x+j^2y+jz)\]

(avec j=e^{2i\pi/3}) que l’on peut aussi écrire sous la forme :

    \[x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)\]

ou encore :

    \[(xy+yz+zx)^3-3xyz(x+y+z)^3=(x^2-yz)(y^2-xz)(z^2-xy)\]

mais ça devient sans doute une affaire de goût (et peut-être aussi de spécialiste).

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