Question

Bonjour,
Je comprends comment calculer le noyau d’une matrice, mais j’ai vraiment du mal à voir exactement à quoi cela peut servir concrètement. Pouvez-vous m’aider? Merci beaucoup


Réponse

Tout d’abord, il faut savoir que l’expression “noyau d’une matrice” est abusive.

On parle plutôt, a priori, de noyau d’une application linéaire. Je rappelle ici que si E et F sont deux espaces vectoriels réels et si u:E\to F est une application linéaire, alors le noyau de u désigne, par définition, l’ensemble :

    \[\ker(u)=\{x\in E;\;u(x)=0_F\}\]

Autrement dit, il s’agit de l’ensemble des vecteurs appartenant à E, dont l’image par u est nulle (0_F désigne le vecteur nul de l’espace vectoriel F).

Par exemple, si E=\mathbb{R}^3, F=\mathbb{R}^2 et si u est l’application définie par :

    \[\forall (x,y,z)\in\mathbb{R}^3,\;u(x,y,z)=(x-y-2z,x+3y-z)\qquad\left(\star\right)\]

alors le noyau de u est :

    \[\ker(u)=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3;\;x-y-2z=0\;\;\text{et}\;\;x+3y-z=0\}\]

c’est-à-dire, après un petit calcul :

    \[\ker(u)=\{(-7y,y,-4y);\;y\in\mathbb{R}\}\]

de sorte que \ker(u) est la droite vectorielle engendrée par le vecteur (-7,1,-4)

Maintenant, considérons une matrice M\in\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R}), c’est-à-dire une matrice à coefficients réels, possédant n lignes et p colonnes.

A cette matrice, on associe une application linéaire u:\mathbb{R}^p\to\mathbb{R}^n, définie de la manière suivante. Pour chaque entier j\in\llbracket1,p\rrbracket, on lit dans la j-ème colonne de M quelle est l’image du j-ème vecteur de la base canonique de \mathbb{R}^p.

Par définition, ce que certains appellent abusivement “le noyau de la matrice M” désigne en fait le noyau de l’application linéaire u.

Par exemple, si l’on considère la matrice :

    \[M=\left[\begin{matrix}1 & -1 & -2\\1 & 3 & -1\end{matrix}\right]\]

alors le “noyau de M” désigne abusivement le noyau de l’application u définie par la relation (\star).

Maintenant, à quoi cela sert-il ?

Sans rentrer dans de longues explications, cela peut servir à déterminer le rang d’une matrice rectangulaire. Pour une matrice M de format n\times p, c’est-à-dire possédant n lignes et p colonnes, le rang sera donné par :

    \[r=p-\dim\left(\ker(M)\right)\]

Et dans le cas particulier où est une matrice carrée (possédant autant de lignes que de colonnes), cela peut servir à savoir si cette matrice est inversible. En effet, une matrice carrée réelle est inversible si, et seulement si, son noyau est réduit au seul vecteur nul.

Espérant que ces quelques explications vont permettront d’y voir un peu plus clair.

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