Challenge 90 : Sommes de nombres de module 1

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D’après l’inégalité triangulaire, il est immédiat que si z_1,\cdots,z_n sont des nombres complexes de module 1, alors leur somme est de module inférieur ou égal à n.

On se pose maintenant le problème réciproque …

Étant donnés un entier n\leqslant1 ainsi que s\in\mathbb{C} tel que \left|s\right|\leqslant n, existe-t-il n nombres complexes de module 1 et de somme s ?

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  1. Paul 13 Déc 2024 Répondre

    Si n=1 et |z| < 1, il n'y a pas de solution.
    Autrement, la réponse est oui.

    C'est évident si |z| \in \mathbb{N}.

    Autrement, s'il existe un entier naturel n \geq 1 tel que n < |z| < n+1, il suffit de montrer que l'application \phi: \mathbb{R}^2 \to \left\{z \in \mathbb{C} \;,\; |z| \leq 2 \right\} \;,\; (\alpha, \theta) \to \exp(\text{i}\alpha) + \exp(\text{i}\theta) est surjective, ce qui se montre facilement en utilisant le fait que \phi(\alpha, \theta) = 2\cos(\frac{\alpha - \theta}{2})\exp(\text{i}\frac{\alpha + \theta}{2}).

    Soit \beta tel que z = |z|\exp(\text{i}\beta}). En posant u = z - (n-1)\exp(\text{i}\beta}), on a 1\leqslant|u|\leqslant2. D'après le résultat précédent, il existe deux complexes a, b de module 1 tels que u = a + b. Conclusion: si n\leqslant|z|\leqslant n+1, z peut s'écrire comme la somme de n+1 complexes de module 1.

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