Challenge 70 : lemme de Cesàro et suites divergentes

Auteur/autrice de la publication :René Adad
Post published:11 décembre 2021
Post category:Challenge

Etant donnée une suite réelle $u,$ il est connu que si $u$ converge vers un réel $\ell$ ou bien diverge vers l’infini, alors il en va de même pour la suite de terme général :

$X_{n}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}u_{k}$

Ce résultat constitue le lemme de Cesàro.

Mais que peut-on dire dans le cas où la suite $u$ diverge, mais pas vers l’infini ? Il s’avère que la suite $X$ peut alors converger ou diverger, selon le cas.

Sauriez-vous trouver un exemple de chaque ? Et dans le cas de divergence, pourriez-vous faire en sorte que la suite $u$ soit bornée ?

Une solution est consultable ici

Partager cet article

Étiquettes : blog de maths, Cesàro, challenge, Math-OS, math-spé, math-sup, moyennes, MP*, MPII, MPSI, partie entière, PCSI, suite divergente

Cet article a 8 commentaires

normastanley 26 Déc 2021 Répondre

I’m amazed, I must say. Seldom do I encounter a blog
that’s both equally educative and amusing, and let me
tell you, you have hit the nail on the head. The problem
is something that not enough people are speaking intelligently about.
I am very happy that I came across this in my hunt for something concerning this.
CLAVIER 12 Déc 2021 Répondre

Ben alors là, je pense que j’ai bien fait de ne pas trop me creuser la tête, parmi les idées que j’ai eues, aucune n’allait dans cette direction. Je lirai ça attentivement plus tard pour me convaincre (là, c’est l’heure du derby entre le Réal et l’Atlético !). Je vous signale juste un petit problème de typographie : la ligne avant « et donc, si n est impair alors « … Le rang du terme de la suite X n’est pas écrit en indice.
CLAVIER 12 Déc 2021 Répondre

Dans ce cas, ça me semble impossible, mais je vais attendre votre solution pour comprendre quelle possibilité je n’ai pas envisagée !
1. René Adad 12 Déc 2021 Répondre
  
  Une solution est en ligne ! Bonne lecture.
CLAVIER 11 Déc 2021 Répondre

OK, il me semblait bien que dans cette acception c’était un peu trop simple pour constituer un challenge. Du coup, que faut-il s’interdire ? Que |u| tende vers +\infty ? Ou bien qu’une suite extraite de u ne le fasse ?
Merci pour la mise en forme de ma réponse initiale. Je ne sais pas si ça marche si on tape directement du code LaTeX, Là je viens d’essayer, je vais bien voir… Mais il y a peut-être des balises à mettre.
PS : Pendant que vous y étiez, vous auriez pu corriger ma phrase tapée trop vite : un mot qui manque et un autre en trop !
1. René Adad 11 Déc 2021 Répondre
  
  Pour $\LaTeX$ , il vous suffit d’encadrer les formules par une paire de $.
  
  Pour le contre-exemple demandé, je propose de chercher une suite réelle bornée u, pour laquelle la suite X diverge.
  
  Et j’ai rectifié les deux typos dans votre précédent message : c’est le genre de truc qui échappe à la lecture … comme si notre cerveau corrigeait tout seul.
CLAVIER 11 Déc 2021 Répondre

$u_k = (-1)^k$ pour le cas où la suite X converge (vers 0 en l’occurrence) et $u_k = k\;(-1)^k$ pour le cas où X diverge (deux valeurs d’adhérence : 0,5 et -0,5 à vue d’œil). Je n’écris pas les calculs, ils sont très simples. Mais je ne sais pas si le second cas correspond à ce que vous attendiez en disant : « diverge, mais pas vers l’infini », c’est un peu ambigu.
1. René Adad 11 Déc 2021 Répondre
  
  Bonjour,
  Vous avez raison, dire d’une suite réelle « qu’elle diverge, mais pas vers l’infini » peut effectivement soulever une ambigüité. Alors je m’explique (pas pour vous, qui avez décelé l’ambigüité, mais pour d’autres qui nous liront).
  Par définition, on dit que la suite $u$ diverge vers $+\infty$ lorsque $\forall A\in\mathbb{R},\exists N\in\mathbb{N},\forall n\geqslant N,u_n\geqslant A$ . Toujours par définition, on dit que la suite $u$ diverge vers $-\infty$ lorsque la suite opposée diverge vers $+\infty$ .
  Une suite réelle qui diverge, mais pas vers l’infini serait donc une suite non convergente et ne divergeant ni vers $+\infty$ ni vers $-\infty$ . La suite de terme général $k(-1)^k$ , que vous avez proposée, entre donc bien dans ce cadre.
  Cela dit, votre commentaire m’a fait réaliser que je n’avais pas posé exactement la bonne question. Je vais donc étoffer un peu l’énoncé !