Solution pour le challenge n° 70

Solution pour le challenge 70

➣ Un contre-exemple hyper classique pour commencer, la suite de terme général :

$\fcolorbox{black}{myBlue}{$u_{n}=\left(-1\right)^{n}$}$

qui est divergente (deux valeurs d’adhérence) et pour laquelle on calcule :

$X_{n}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\left(-1\right)^{k}=\frac{\left(-1\right)^{n}-1}{2n}$

La suite $X$ converge vers 0 puisque (inégalité triangulaire) :

$\forall n\in\mathbb{N}^{\star},\thinspace\left|X_{n}\right|\leqslant\frac{1}{n}$

➣ Ensuite, si l’on veut une suite $u$ divergente pour laquelle la suite $X$ diverge, on peut proposer :

$\fcolorbox{black}{myBlue}{$u_{n}=\left(-1\right)^{n}n$}$

En effet, dans ce cas :

$X_{n}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\left(-1\right)^{k}k$

et l’on montre facilement (en séparant les cas $n$ pair et $n$ impair et et regroupant les termes deux par deux) que, pour tout $n\geqslant1$ :

$\sum_{k=1}^{n}\left(-1\right)^{k}k=\left(-1\right)^{n}\left\lfloor \frac{n+1}{2}\right\rfloor$

Ainsi :

$X_{n}=\frac{\left(-1\right)^{n}}{n}\left\lfloor \frac{n+1}{2}\right\rfloor$

La suite $X$ diverge puisqu’elle possède 2 valeurs d’adhérence. En effet :

$X_{2n}=\frac{1}{2}\qquad\text{et}\qquad X_{2n+1}=-\frac{n+1}{2n+1}\rightarrow-\frac{1}{2}$

➣ Dans l’exemple précédent, la suite $u$ n’était pas bornée. Voici maintenant un exemple d’une suite $u,$ bornée et divergente, pour laquelle la suite $X$ diverge. Notons $\ell$ le logarithme binaire (alias : logarithme en base 2) et posons, pour tout $n\geqslant1$ :

$\fcolorbox{black}{myBlue}{$u_{n}=\left(-1\right)^{\left\lfloor\ell\left(n\right)\right\rfloor}$}$

Comme la suite extraite $\left(u_{2^{n}}\right)_{n\geqslant1}$ diverge (son terme général est $\left(-1\right)^{n}),$ alors la suite $u$ diverge aussi. On observe que :

$\begin{eqnarray*}X_{2^{n+1}-1} & = & \frac{1}{2^{n+1}-1}\sum_{k=0}^{n}\left(-2\right)^{k}\\& = & \frac{\left(-2\right)^{n+1}-1}{-3\left(2^{n+1}-1\right)}\end{eqnarray*}$

et donc, si $n$ est impair alors :

$\boxed{X_{2^{n+1}-1}=-\frac{1}{3}}$

Par ailleurs :

$\begin{eqnarray*}X_{2^{n+1}-2} & = & \frac{1}{2^{n+1}-2}\left[\left(\sum_{k=0}^{n}\left(-2\right)^{k}\right)-\left(-1\right)^{n}\right]\\& = & \frac{\left(-2\right)^{n+1}-1}{-3\left(2^{n+1}-2\right)}-\frac{\left(-1\right)^{n}}{2^{n+1}-2}\end{eqnarray*}$

et donc, si $n$ est pair alors :

$\boxed{X_{2^{n+1}-2}=\frac{1}{3}}$

Bref, la suite $X$ diverge puisque ses suites extraites $\left(X_{2^{2n+2}-1}\right)_{n\geqslant1}$ et $\left(X_{2^{2n+1}-2}\right)_{n\geqslant1}$ sont constantes (avec des constantes distinctes).

Pour consulter l’énoncé, c’est ici

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CLAVIER 12 Déc 2021 Répondre

OK, logique en fin de compte. J’ai bien cherché comment alterner des suites de 1 et de -1, mais je ne sais pas pourquoi je n’ai pas pensé au puissances de 2 pour les longueurs, maintenant ça me parait tellement évident ! J’avais essayé les carrés, les cubes, et j’avais vu plus généralement qu’avec des suites de 1 et de -1 alternées de longueur $1^{k}$ , $2^{k}$ , $3^{k}$ , etc ça ne pouvait pas marcher. Après j’étais parti dans d’autres délires comme des sommes trigonométriques, je n’ai pas trop insisté, mais je vois que j’ai quand même manqué de lucidité sur ce coup !

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