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Solution proposée par Joël CHARLES-REBUFFE, étudiant en section MPSI au lycée Thiers (Marseille)

La configuration proposée n’est pas résoluble.

Supposons en effet qu’elle le soit.
En identifiant la grille au groupe de symétrique \mathfrak{S}_{16}, il apparaît que la permutation nécessaire pour résoudre la grille est la transposition \tau = (14, 15), qui est impaire.

Mais par définition des règles du jeu, \tau est nécessairement composée de transpositions faisant intervenir l’échange de la case vide avec une autre case de la grille. Si la grille proposée était résoluble, il faudrait par conséquent transposer la case vide un nombre impair de fois. Or, la position de la case vide étant la même dans les grilles de départ et d’arrivée, il a forcément fallu lui appliquer un nombre pair de déplacements (chaque déplacement vers la gauche ou vers le haut devant être compensé par un déplacement identique dans l’autre sens, et même chose pour les déplacements horizontaux).
Donc \tau est paire : contradiction !


Pour consulter l’énoncé, c’est ici

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