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Etant donné une couple \left(a,b\right) de nombres réels, on sait (formule d’addition du sinus) que :

    \[\sin\left(a+b\right)=\sin\left(a\right)\cos\left(b\right)+\cos\left(a\right)\sin\left(b\right)\]

Il en résulte, d’après l’inégalité triangulaire, que :

    \[\left|\sin\left(a+b\right)\right|\leqslant\left|\sin\left(a\right)\right|\thinspace\left|\cos\left(b\right)\right|+\left|\cos\left(a\right)\right|\thinspace\left|\sin\left(b\right)\right|\]

et, à plus forte raison, que :

    \[\left|\sin\left(a+b\right)\right|\leqslant\left|\sin\left(a\right)\right|+\left|\sin\left(b\right)\right|\]

Une récurrence immédiate montre alors que, pour tout n\in\mathbb{N}^{\star} et pour tout \left(x_{1},\cdots,x_{n}\right)\in\mathbb{R}^{n} :

    \[\left|\sin\left(\sum_{k=1}^{n}x_{k}\right)\right|\leqslant\sum_{k=1}^{n}\left|\sin\left(x_{k}\right)\right|\qquad\left(\star\right)\]

Pour finir, si l’on pose :

    \[X=\sum_{k=1}^{n}x_{k}\]

alors, d’après \left(\star\right) :

    \begin{eqnarray*}\sum_{k=1}^{n}\left|\sin\left(x_{k}\right)\right|+\left|\cos\left(\sum_{k=1}^{n}x_{k}\right)\right|  & \geqslant & \left|\sin\left(\sum_{k=1}^{n}x_{k}\right)\right|+\left|\cos\left(\sum_{k=1}^{n}x_{k}\right)\right|\\& = & \left|\sin\left(X\right)\right|+\left|\cos\left(X\right)\right|\\& \geqslant & \sin^{2}\left(X\right)+\cos^{2}\left(X\right)\\& = & 1\end{eqnarray*}

comme souhaité.


Pour consulter l’énoncé, c’est ici

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