Solution pour le challenge n° 37

Etant donné une couple $\left(a,b\right)$ de nombres réels, on sait (formule d’addition du sinus) que :

$\sin\left(a+b\right)=\sin\left(a\right)\cos\left(b\right)+\cos\left(a\right)\sin\left(b\right)$

Il en résulte, d’après l’inégalité triangulaire, que :

et, à plus forte raison, que :

Une récurrence immédiate montre alors que, pour tout $n\in\mathbb{N}^{\star}$ et pour tout $\left(x_{1},\cdots,x_{n}\right)\in\mathbb{R}^{n}$ :

$\left|\sin\left(\sum_{k=1}^{n}x_{k}\right)\right|\leqslant\sum_{k=1}^{n}\left|\sin\left(x_{k}\right)\right|\qquad\left(\star\right)$

Pour finir, si l’on pose :

$X=\sum_{k=1}^{n}x_{k}$

alors, d’après $\left(\star\right)$ :

$\begin{eqnarray*}\sum_{k=1}^{n}\left|\sin\left(x_{k}\right)\right|+\left|\cos\left(\sum_{k=1}^{n}x_{k}\right)\right| & \geqslant & \left|\sin\left(\sum_{k=1}^{n}x_{k}\right)\right|+\left|\cos\left(\sum_{k=1}^{n}x_{k}\right)\right|\\& = & \left|\sin\left(X\right)\right|+\left|\cos\left(X\right)\right|\\& \geqslant & \sin^{2}\left(X\right)+\cos^{2}\left(X\right)\\& = & 1\end{eqnarray*}$

comme souhaité.

Pour consulter l’énoncé, c’est ici

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