Les réels de l'ensemble de Mandelbrot

Les réels de l’ensemble de Mandelbrot

Auteur/autrice de la publication :René Adad
Post published:20 octobre 2025
Post category:Articles Mathématiques / Articles Niveau Supérieur

L’ensemble de Mandelbrot, noté $M$ , a été défini au début de cet article.

L’objet de ce qui suit est de prouver le résultat élémentaire suivant :

Proposition

La trace sur $\mathbb{R}$ de l’ensemble de Mandelbrot : $M\cap\mathbb{R}=\left[-2,\dfrac{1}{4}\right].$

D’après le lemme d’évasion, on sait que si $\left|c\right|>2$ alors $0\notin K_{c}$ et donc $c\notin M.$ Par conséquent $M\subset\overline{D}\left(0,2\right)$ et en particulier : $M\cap\mathbb{R}\subset\left[-2,2\right]$ .

De plus, on voit facilement que si $c>\dfrac{1}{4}$ , alors la suite définie par :

$\boxed{t_{0}=0\qquad\text{et}\qquad\forall n\in\mathbb{N},\thinspace t_{n+1}=t_{n}^{2}+c}$

diverge vers l’infini. En effet, cette suite est (strictement) croissante car, pour tout $n\in\mathbb{N}$ :

$t_{n+1}-t_{n}=t_{n}^{2}-t_{n}+c=\left(t_{n}-\dfrac{1}{2}\right)^{2}+c-\dfrac{1}{4}>0$

et elle n’est pas majorée (car sinon, elle convergerait, or l’application continue $\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},\thinspace t\mapsto t^{2}+c$ ne possède aucun point fixe). Il est ainsi établi que :

$\fcolorbox{black}{myBlue}{$\displaystyle{M\cap\mathbb{R}\subset\left[-2,\dfrac{1}{4}\right]}$}$

Prouvons à présent l’inclusion inverse.

Pour tout $c\in\left[-2,\dfrac{1}{4}\right],$ l’application $P_{c}:t\mapsto t^{2}+c$ possède deux points fixes (confondus en $\frac12$ lorsque $c=\dfrac{1}{4}),$ à savoir :

$f_{-}=\dfrac{1}{2}\left(1-\sqrt{1-4c}\right)\qquad\text{et}\qquad f_{+}=\dfrac{1}{2}\left(1+\sqrt{1-4c}\right)$

On peut montrer (ce n’est pas utile ici) que si $c\in\left[-2,\dfrac{1}{4}\right[$ alors $f_{+}$ est répulsif et qu’en notant $\rho=P_{c}'\left(f_{-}\right)=2\thinspace f_{-}$ :

si $-\frac34<c<\frac14,$ alors $f_{-}$ est attractif puisque $-1<\rho<1.$
si $-2\leqslant c<-\frac34,$ alors $f_{-}$ est répulsif car $\rho<-1.$
et pour $c=-\frac34,$ le point fixe $f_{-}=-\frac12$ est indifférent car $\rho=-1.$

Le point important est que l’intervalle $I_{c}=\left[-f_{+},f_{+}\right]$ est stable par $P_{c}.$

En effet, si $\left|t\right|\leqslant f_{+}$ alors :

$t^{2}+c\leqslant f_{+}^{2}+c=f_{+}$

et de plus (c’est ici que sert l’hypothèse $c\geqslant-2.$ Voir les détails dans l’encadré ci-dessous) :

$t^{2}+c+f_{+}\geqslant c+f_{+}\geqslant0$

de sorte que $t^{2}+c\in I_{c}.$

Détails

On résout, pour $c\leqslant\dfrac{1}{4},$ l’inéquation $c+f_{+}\geqslant0,$ c’est-à-dire :

$c+\dfrac{1}{2}\left(1+\sqrt{1-4c}\right)\geqslant0$

ou encore :

$\sqrt{1-4c}\geqslant-\left(2c+1\right)$

Si $c\in\left[-\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{4}\right],$ alors $c$ et solution. Et pour $c<-\dfrac{1}{2}$ :

$\sqrt{1-4c}\geqslant-\left(2c+1\right)\Leftrightarrow1-4c\geqslant4c^{2}+4c+1\Leftrightarrow c\left(c+2\right)\leqslant0\Leftrightarrow c\in\left[-2,-\dfrac{1}{2}\right[$