Dans cet article, je vous propose d’étudier des exemples de résolution d’équations à une inconnue, dans le champ réel. Après avoir introduit le vocabulaire usuel et présenté un cadre général, nous limiterons celui-ci aux équations algébriques de petit degré.

De quoi s’agit-il ?

Une équation est simplement une égalité dans laquelle figure une inconnue (que l’on désigne par une lettre, souvent la lettre ‘x’, mais cela n’est pas obligatoire).

But du jeu : déterminer les solutions de cette équation, c’est-à-dire les valeurs (réelles) que l’on peut attribuer à l’inconnue de telle sorte que l’égalité soit vérifiée.

L’ensemble des solutions, que l’on peut noter $S,$ est une partie de $\mathbb{R},$ qui peut très bien être vide. C’est le cas pour l’équation $x=x+1.$ C’est aussi le cas pour l’équation $x^2=-1$ .

Et lorsque $S$ est non vide, on cherche à en déterminer les éléments, de façon exacte. Cependant, il est fréquent (même pour des équations d’apparence très simple) que cet objectif ne soit pas accessible. On peut alors se contenter d’une information réduite, en répondant par exemple aux questions suivantes :

combien de solutions existe-t-il ?
peut-on obtenir, pour chacune d’elles, un encadrement arbitrairement fin ?

Dans tout ce qui suit, on se limitera à des situations se ramenant à des équations du second degré. Ce cadre sera toutefois quelque peu élargi, à la section 4.

Un prochain article (de niveau lycée également) abordera l’étude d’équations trigonométriques.

Le décor est posé. Commençons par un exemple que ne devrait soulever aucune difficulté.

1 – Exemple Introductif

Il s’agit de l’équation du second degré suivante :

( $\star$ ) $x^{2}+2x-3=0$

Les entiers 1 et -3 sont solutions, ce qu’on vérifie facilement :

$1^{2}+2\times1-3=1+2-3=0$

$\left(-3\right)^{2}+2\times\left(-3\right)-3=9-6-3=0$

En revanche, prouver qu’il n’existe pas d’autres solutions demande plus d’efforts ! Plutôt que d’utiliser une « recette » (que vous connaissez : on calcule le discriminant $\Delta=b^{2}-4ac,$ etc …), il est sans doute plus instructif (dans un premier temps au moins) de repartir de zéro, afin de bien voir quels sont les concepts et les mécanismes mis en jeu …

On commence par observer que l’équation $\left(\star\right)$ peut s’écrire :

$\left(x+1\right)^{2}-4=0$

On reconnaît là une instance de l’identité remarquable :

$\boxed{\forall\left(a,b\right)\in\mathbb{R}^{2},\thinspace a^{2}-b^{2}=\left(a-b\right)\left(a+b\right)}$

avec $a=x+1$ et $b=2$ ; ce qui nous amène à ré-écrire $\left(\star\right)$ sous la forme :

$\left(\left(x+1\right)-2\right)\left(\left(x+1\right)+2\right)=0$

c’est-à-dire :

$\left(x-1\right)\left(x+3\right)=0$

Or, on sait que la nullité du produit de deux nombres réels équivaut à la nullité de l’un au moins des facteurs. Autrement dit, notre équation prend la forme :

$x-1=0\quad\text{ou}\quad x+3=0$

L’ensemble des solutions de $\left(\star\right)$ est donc $S=\left\{ -3,1\right\} ,$ comme annoncé. C’est une paire, c’est-à-dire un ensemble contenant deux éléments.

2 – Théorie générale

Dans cette section, on généralise ce qui précède en présentant la théorie (pas de panique !.. c’est une théorie bien modeste) des équations de la forme :

$\boxed{ax^{2}+bx+c=0\qquad\left(E_{a,b,c}\right)}$

L’inconnue est toujours notée $x.$ Quant aux trois lettres $a,b,c$ elles désignent ce qu’on appelle des paramètres, c’est-à-dire des nombres réels a priori quelconques et sur lesquels on peut faire peser certaines conditions, qui apparaîtront naturellement dans la discussion.

$\blacktriangleright$ Si $\boxed{a=b=0}$ l’équation est en quelque sorte dégénérée (l’inconnue n’y figure même plus !). La question peut même paraître assez étrange, voire absurde :

Quelles sont les valeurs de $x$ pour lesquelles $c=0$ ?

Etrange en effet… mais parfaitement envisageable ! Et la réponse est :

toutes, si $c=0$
aucune, si $c\neq0$

En d’autres termes, si l’on note $S_{a,b,c}$ l’ensemble des solutions de l’équation $\left(E_{a,b,c}\right)$ , alors :

$\boxed{S_{0,0,0}=\mathbb{R}\qquad\text{et}\qquad S_{0,0,c}=\emptyset\quad\text{pour tout }c\in\mathbb{R}^{\star}}$

$\blacktriangleright$ Si $\boxed{a=0\text{ et }b\neq0}$ , on obtient l’équation du premier degré suivante :

$bx+c=0$

Les règles usuelles de calcul montrent qu’elle possède une unique solution : le réel $-\frac{c}{b}.$ Autrement dit :

$\boxed{S_{0,b,c}=\left\{ -\frac{c}{b}\right\} \quad\text{pour tout }\left(b,c\right)\in\mathbb{R}^{\star}\times\mathbb{R}}$

Cet ensemble, qui ne possède qu’un seul élément, est appelé un singleton.

$\blacktriangleright$ Si $\boxed{a\neq0}$ l’équation est dite du second degré. J’ai consacré en 2010, trois vidéos à ce thème (les deux premières abordent, comme ici, l’étude dans le champ réel. La troisième envisage la résolution dans le champ complexe et dépasse donc le cadre du présent article). Je vous invite à les visionner :

Toutefois, afin de préserver l’unité de la présentation, les calculs vont maintenant être détaillés, en conservant les notations adoptées plus haut.

L’idée principale consiste à transformer l’équation $\left(E_{a,b,c}\right)$ pour la mettre sous forme canonique.

L’adjectif « canonique » est à prendre au sens de standard. C’est ainsi que l’on nomme l’écriture suivante, qui est équivalente à $\left(E_{a,b,c}\right)$ :

( $\star\star$ ) $\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}-\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}=0$

Il est facile de vérifier qu’il y a bien équivalence : il suffit de développer le membre de gauche de $\left(\star\star\right)$ puis de simplifier …

L’intérêt de mettre l’équation sous cette nouvelle forme est clair : on cherche à faire apparaître une différence de deux carrés (exactement comme dans l’exemple particulier traité à la section 1).

C’est bien parti, puisque le membre de gauche de $\left(\star\star\right)$ est la différence entre le carré de $x+\frac{b}{2a}$ et un nombre réel $T,$ à savoir :

$T=\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}$

Reste à savoir si l’on peut considérer $T$ comme un carré. La réponse est simple : dans $\mathbb{R},$ les carrés sont les nombres positifs ou nuls.

Il faut donc discuter selon le signe de $T,$ ce qui va conduire à distinguer (discriminer …) trois cas, selon que $T$ est strictement positif, nul ou strictement négatif.
Mais vu que $4a^{2}>0,$ tout repose en fait sur les épaules de $\Delta=b^{2}-4ac,$ qu’on appelle donc, tout naturellement, le discriminant de l’équation $\left(E_{a,b,c}\right).$

$\boxed{\text{1er cas : }\Delta>0}$ Le membre de gauche de $\left(\star\star\right)$ est une différence de deux carrés. On factorise et l’on trouve l’équation équivalente :

$\left(x+\frac{b-\sqrt{\Delta}}{2a}\right)\left(x+\frac{b+\sqrt{\Delta}}{2a}\right)=0$

d’où la paire de solutions :

$\boxed{S_{a,b,c}=\left\{ \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a},\thinspace\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\right\} }$

$\boxed{\text{2ème cas : }\Delta=0}$ L’équation $\left(\star\star\right)$ se réduit à :

$\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}=0$

ce qui équivaut bien sûr à $x+\frac{b}{2a}=0$ et donne pour $S$ le singleton :

$\boxed{S_{a,b,c}=\left\{ -\frac{b}{2a}\right\} }$

$\boxed{\text{3ème cas : }\Delta<0}$ On observe que, pour tout $x\in\mathbb{R}$ :

$\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}-\frac{\Delta}{4a^{2}}\geqslant-\frac{\Delta}{4a^{2}}>0$

Il n’y a donc aucune solution. Autrement dit :

$\boxed{S_{a,b,c}=\emptyset}$

Donnons, pour clore cette section, un exemple pour chacun des trois cas :

Exemple 1 avec $\Delta>0$

Résolution de

$\fcolorbox{black}{myBlue}{$4x^{2}+3x-1$}$

Le discriminant est $\Delta=3^{2}-4\times4\times\left(-1\right)=25.$ Les solutions sont donc :

$\frac{-3-\sqrt{25}}{2\times4}=-1\qquad\text{et}\qquad\frac{-3+\sqrt{25}}{2\times4}=\frac{1}{4}$

Exemple 2 avec $\Delta=0$

Résolution de

$\fcolorbox{black}{myBlue}{$9x^{2}+6x+1=0$}$

Le discriminant est $\Delta=6^{2}-4\times9\times1=0.$ L’unique solution est :

$\frac{-6}{2\times9}=-\frac{1}{3}$

Exemple 3 avec $\Delta<0$

Résolution de

$\fcolorbox{black}{myBlue}{$x^{2}+10x+100=0$}$

Le discriminant est $\Delta=10^{2}-4\times1\times100=-300<0.$

Cette équation ne possède aucune solution réelle.

Remarque

L’usage du discriminant réduit simplifie (très légèrement) la résolution de l’équation

$ax^{2}+2b'x+c=0$

Le cas typique est celui où les coefficients sont entiers, celui de $x$ étant pair. On pose alors :

$\boxed{\Delta'=b'^{2}-ac}$

qu’on appelle le discriminant réduit et qui n’est autre que le quart du discriminant usuel.

Si $\Delta'>0,$ les solutions sont données par les formules :

$\boxed{\frac{-b'\pm\sqrt{\Delta'}}{a}}$

Ainsi, dans l’exemple 3 ci-dessus, on pouvait écrire :

$\Delta'=5^{2}-1\times100=-75$

qui est bien le quart de -300.

3 – Second degré en mode furtif

Il arrive que le processus de résolution conduise, après quelques manipulations, à une équation du second degré. Sans prétendre à l’exhaustivité, examinons (sur des exemples) quelques uns des principaux scénarios …

Exemple 1 – Avec des fractions

On demande de résoudre :

$\boxed{\frac{1}{x}+\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x+2}=0}$

Pour tout $x\in\mathbb{R}-\left\{ -2,-1,0\right\} ,$ cette équation équivaut à :

$\left(x+1\right)\left(x+2\right)+x\left(x+2\right)+x\left(x+1\right)=0$

c’est-à-dire :

$3x^{2}+6x+2=0$

Le discriminant réduit est $\Delta'=3^{2}-3\times2=3,$ d’où la paire de solutions :

$\boxed{S=\left\{ -1-\frac{\sqrt{3}}{3},\thinspace-1+\frac{\sqrt{3}}{3}\right\} }$

Exemple 2 – Encore des fractions

On demande de résoudre :

$\boxed{\frac{x}{x^{2}-1}+\frac{1}{x}=\frac{7}{6}}$

Là encore, il suffit de se placer sur le domaine de validité de l’équation (c’est-à-dire l’intersection des domaines de définition des fonctions définies par chacun des deux membres), puis de se débarrasser des dénominateurs …

Pour tout $x\in\mathbb{R}-\left\{ -1,0,1\right\} ,$ l’équation proposée équivaut à :

$2x^{2}-1=\frac{7}{6}\left(x^{3}-x\right)$

ou encore à :

$7x^{3}-12x^{2}-7x+6=0$

On observe (à l’œil nu ou grâce au test des racines rationnelles) que 2 est solution, ce qui permet de factoriser le membre de gauche et d’obtenir l’équation équivalente :

$\left(x-2\right)\left(7x^{2}+2x-3\right)=0$

Encore un petit coup de discriminant pour résoudre l’équation du second degré $7x^{2}+2x-3=0$ et finalement :

$\boxed{S=\left\{ \frac{-1-\sqrt{22}}{7},\thinspace\frac{-1+\sqrt{22}}{7},\thinspace2\right\} }$

Noter le choix « avantageux » de la constante au second membre de l’équation.

Avec une autre valeur (par exemple 1 au lieu de $\frac{7}{6}),$ on déboucherait en général sur une équation du troisième degré dont la résolution ne serait pas élémentaire (et nécessiterait l’usage des formules de Cardan).

Exemple 3 – Avec des racines carrées

On demande de résoudre :

$\boxed{\sqrt{x-1}+2\sqrt{5-x}=3}$

Pour que cette équation ait un sens, encore faut-il que les réels $x-1$ et $5-x$ soient tous deux positifs ou nuls. Le domaine de validité est donc : $D=\left[1,5\right].$

Pour tout $x\in D,$ les deux membres sont clairement positifs et l’on obtient une équation équivalente en élevant chacun au carré :

$\left(x-1\right)+4\left(5-x\right)+4\sqrt{x-1}\sqrt{5-x}=9$

c’est-à-dire :

$4\sqrt{-x^{2}+6x-5}=3x-10$

On souhaite élever de nouveau au carré, pour se débarrasser de cette dernière racine carrée. Mais il ne faut pas faire cela sans précaution.

Si $x\in D\cap\left]-\infty,\frac{10}{3}\right[,$ le membre de droite est strictement négatif et ne peut donc pas être égal au membre de gauche.

Et si $x\in D\cap\left[\frac{10}{3},+\infty\right[=\left[\frac{10}{3},5\right],$ alors l’équation équivaut à :

$16\left(-x^{2}+6x-5\right)=\left(3x-10\right)^{2}$

c’est-à-dire :

$25x^{2}-156x+180=0$

Et voilà notre équation du second degré qui est apparue 🙂

Son discriminant réduit est :

$\Delta'=78^{2}-25\times180=1584=12^{2}\times11$

et ses solutions sont (valeurs approchées à $10^{-2}$ près) :

$\alpha=\frac{78-12\sqrt{11}}{25}\simeq1,53\qquad\text{et}\qquad\beta=\frac{78+12\sqrt{11}}{25}\simeq4,71$

Comme $\alpha\notin D$ , on l’exclut. En revanche $\beta\in D,$ et donc :

$\boxed{S=\left\{ \frac{78+12\sqrt{11}}{25}\right\} }$

Exemple 4 – Avec des valeurs absolues

On demande de résoudre :

$\boxed{\left|x^{2}+x-2\right|=2x+\left|x-1\right|}$

Il est naturel de distinguer trois cas, selon les signes des expressions $x^{2}+x-2=\left(x-1\right)\left(x+2\right)$ et $x-1.$

$\blacktriangleright$ Pour $x\leqslant-2,$ l’équation s’écrit $x^{2}+x-2=2x+1-x,$ c’est-à-dire $x^{2}=3$ ou encore $x\in\left\{-\sqrt{3},\sqrt{3}\right\}.$
Mais les réels $-\sqrt{3}$ et $\sqrt{3}$ ne vérifient pas la condition $x\leqslant-2$ et ne sont donc pas retenus.

$\blacktriangleright$ Pour $-2<x\leqslant1,$ on résout $-x^{2}-x+2=2x+1-x,$ c’est-à-dire $x^{2}+2x-1=0.$ Parmi les deux solutions de cette équation du second degré, seule $-1+\sqrt{2}$ est retenue.

$\blacktriangleright$ Enfin, pour $x>1,$ l’équation prend la forme $x^{2}+x-2=2x+x-1,$ c’est-à-dire $x^{2}-2x-1=0$ : seule la solution $1+\sqrt{2}$ est retenue.

Finalement :

$\boxed{S=\left\{-1+\sqrt{2},\thinspace1+\sqrt{2}\right\}}$

Exemple 5 – Avec une racine carrée et une valeur absolue

On demande de résoudre :

$\boxed{\sqrt{\left|x^{2}-1\right|}=\frac{x}{3}+1}$

Si $x<-3,$ alors $\frac{x}{3}+1<0$ tandis que $\sqrt{\left|x^{2}-1\right|}\geqslant0,$ donc $x$ n’est pas solution.

Et pour $x\geqslant-3,$ l’équation proposée équivaut à :

$\left|x^{2}-1\right|=\frac{x^{2}}{9}+\frac{2x}{3}+1$

On distingue alors deux cas, selon le signe de $x^{2}-1.$

$\blacktriangleright$ $\boxed{\text{1er cas : }x\in\left[-3,-1\right]\cup\left[1,+\infty\right[}$

Alors l’équation prend la forme :

$x^{2}-1=\frac{x^{2}}{9}+\frac{2x}{3}+1$

c’est-à-dire :

$4x^{2}-3x-9=0$

Le discriminant est $\Delta=9+4\times4\times9=153=9\times17,$ d’où deux solutions :

$x_{1}=\frac{3-3\sqrt{17}}{8}\qquad x_{2}=\frac{3+3\sqrt{17}}{8}$

Comme $4<\sqrt{17}<5,$ alors :

$-\frac{3}{2}<\frac{3\sqrt{17}}{8}<\frac{15}{8}$

d’où $-3\leqslant x_{1}\leqslant-1$ et $x_{2}\geqslant1$ . On retient donc $x_1$ et $x_2$ .

$\blacktriangleright$ $\boxed{\text{2ème cas : }x\in\left]-1,1\right[}$

Cette fois, l’équation équivaut à :

$1-x^{2}=\frac{x^{2}}{9}+\frac{2x}{3}+1$

c’est-à-dire :

$5x^{2}+3x=0$

ce qui donne $x=0$ ou $x=-\frac{3}{5}$ et ces deux valeurs sont aussi retenues puisqu’elles appartiennent à $\left]-1,1\right[$ . Finalement, l’ensemble des solutions est :

$\boxed{\mathcal{S}=\left\{ \frac{3-3\sqrt{17}}{8},\thinspace-\frac{3}{5},\thinspace0,\thinspace\frac{3+3\sqrt{17}}{8}\right\} }$

Exemple 6 – Avec un changement d’inconnue

On demande de résoudre :

( $\square$ ) $\boxed{4x^{6}-13x^{4}+11x^{2}-2=0}$

Il s’agit d’une équation algébrique du sixième degré.

Au fait … qu’est-ce qu’une équation algébrique ? [cliquer pour déplier]

Il convient de préciser ce point de vocabulaire. On désigne ainsi les équations de la forme $P\left(x\right)=0$ , où $P$ est un polynôme. Autrement dit, une équation est dite algébrique lorsqu’elle est de la forme :

( $\star$ ) $a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_{1}x+a_{0}=0$

les symboles $a_{0},a_{1},\cdots,a_{n-1},a_{n}$ désignant des réels fixés, appelés coefficients de l’équation.

De manière générale, une équation algébrique de la forme $\left(\star\right)$ est dite de degré $n,$ à condition toutefois que la coefficient $a_{n}$ soit non nul.

Les équations du second degré sont donc des équations algébriques particulières : elles correspondent à $n=2$ dans la définition ci-dessus.

L’équation suivante est algébrique de degré 7 :

$5x^{7}+3x^{5}+x^{2}-\frac{3}{7}x+\sqrt{5}=0$

Une équation qui n’est équivalente à aucune équation algébrique est dite transcendante. C’est par exemple le cas de l’équation $\cos\left(x\right)=x.$

En regardant l’équation $(\square)$ de plus près, on constate que les exposants auxquels figure l’inconnue $x$ sont tous pairs.

Ceci suggère de changer temporairement de cible et de poser $y=x^{2},$ ce qui nous conduit à considérer l’équation auxiliaire :

( $\bigstar$ ) $4y^{3}-13y^{2}+11y-2=0$

Comme 1 est manifestement solution, on peut factoriser le membre de gauche par $\left(y-1\right)$ et obtenir l’équation équivalente :

$\left(y-1\right)\left(4y^{2}-9y+2\right)=0$

dont les solutions sont 1, 2 et $\frac{1}{4}.$ Il est temps de revenir à l’équation initiale …

Les calculs précédents montrent que, pour tout $x\in\mathbb{R}$ :

$4x^{6}-13x^{4}+11x^{2}-2=0\Leftrightarrow\left(x^{2}=1\quad\text{ou}\quad x^{2}=2\quad\text{ou}\quad x^{2}=\frac{1}{4}\right)$

Finalement :

$\boxed{S=\left\{ -\sqrt{2},-1,-\frac{1}{2},\frac{1}{2},1,\sqrt{2}\right\} }$

Exemple 7 – Un changement d’inconnue plus élaboré

Dans l’exemple précédent, l’ensemble de solutions de l’équation proposée était invariant par la transformation $x\mapsto-x,$ ce qui veut simplement dire que l’opposé de toute solution était encore solution.

Les équations algébriques ayant cette propriété sont aisément reconnaissables : ce sont celles dans lesquelles l’inconnue figure à des exposants qui sont tous de même parité (cette formulation peut être rendue rigoureuse, mais on s’en contentera).

Les équations algébriques ne possédant pas 0 pour solution et pour lesquels l’inverse de toute solution est encore solution sont appelées équations réciproques.

On les reconnaît facilement : la liste des coefficients forme un palindrome.

Un palindrome est une liste de symboles qui reste inchangée lorsqu’on la renverse. Par exemple, la liste des chiffres de l’entier $2345432,$ ou bien la liste des lettres du mot « radar », etc …

Pas clair ? Considérons l’équation algébrique :

$\boxed{4x^{4}+8x^{3}-37x^{2}+8x+4=0}\qquad\left(R\right)$

La liste des coefficients est :

$4,\:8,\:-37,\:8,\:4$

forme visiblement un palindrome. Et alors ? me direz-vous …

Alors, il est possible traiter ce genre d’équations avec le changement d’inconnue :

$\boxed{y=x+\frac{1}{x}}$

ce que nous allons expliquer dans le cas particulier de l’équation $\left(R\right).$

On constate cette que égalité impose :

$y^{2}=\left(x+\frac{1}{x}\right)^{2}=x^{2}+2+\frac{1}{x^{2}}$

et donc :

$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=y^{2}-2$

Après avoir observé que 0 n’est pas solution de $\left(R\right),$ on peut supposer $x\neq0$ et diviser chaque membre de $\left(R\right)$ par $x^{2},$ ce qui donne l’équation équivalente :

$4x^{2}+8x-37+\frac{8}{x}+\frac{4}{x^{2}}=0$

c’est-à-dire :

$4\left(x^{2}+\frac{1}{x^{2}}\right)+8\left(x+\frac{1}{x}\right)-37=0$

On est ainsi conduit à l’équation auxiliaire $4\left(y^{2}-2\right)+8y-37=0,$ c’est-à-dire :

$4y^{2}+8y-45=0$

Le discriminant réduit de cette dernière est $\Delta'=196=14^{2},$ d’où ses solutions :

$y_{1}=\frac{-4-14}{4}=-\frac{9}{2}\qquad\text{et}\qquad y_{2}=\frac{-4+14}{4}=\frac{5}{2}$

Il nous reste donc à résoudre les deux équations :

$x+\frac{1}{x}=-\frac{9}{2}\quad\left(E_{1}\right)\qquad\text{et}\qquad x+\frac{1}{x}=\frac{5}{2}\quad\left(E_{2}\right)$

ce qui ne pose aucune difficulté (ces équations se ramènent aussitôt au second degré, après multiplication par $x^{2}).$ On réunit alors les ensembles de solutions de $\left(E_{1}\right)$ et $\left(E_{2}\right),$ ce qui donne finalement :

$\boxed{S=\left\{ \frac{-9-\sqrt{65}}{4},\thinspace\frac{-9+\sqrt{65}}{4},\thinspace\frac{1}{2},\thinspace2\right\} }$

Afin qu’on puisse y voir quelque chose, les unités ne sont pas identiques sur chacun des axes de coordonnées : le tracé a subi une compression d’un facteur 100 en ordonnées. Pour le dire autrement, on a tracé en axes orthonormés le graphe de $x\mapsto f\left(x\right)/100.$

4 – Résolution explicite impossible

La résolution des équations algébriques est maîtrisée depuis fort longtemps pour ce qui concerne le second degré, comme en attestent des inscriptions cunéiformes retrouvées sur des tablettes d’argile datant de près de 4000 ans et remontant à l’époque babylonienne.

C’est à l’école mathématique italienne de la renaissance (XVIème siècle) que l’on doit la mise au point de techniques de résolutions des équations des 3ème et 4ème degrés avec, au passage, l’invention (ou la découverte ?) de ce qu’on devait plus tard appeler les nombres complexes.

Les travaux de J.L. Lagrange, suivis au début du XIX-ème siècle par ceux de N.H. Abel et E. Galois, devaient enfin aboutir à une connaissance complète du sujet et parvenir notamment au résultat suivant, à la fois profond et surprenant :

Théorème (délibérément non formalisé)

Il n’est pas possible d’exprimer en toute généralité les solutions des équations algébriques de degré 5 ou plus, en fonction des coefficients de celles-ci, par des formules utilisant seulement les quatre opérations usuelles (addition, soustraction, multiplication et division) ainsi que les extractions de racines (carrées, cubiques, etc …).

Cela ne signifie pas qu’il s’agisse de formules difficiles d’accès et que personne ne soit encore parvenu à les trouver … Le message est clair et définitif : de telles formules n’existent pas !

Bien sûr, on parle ici de formules générales : rien n’interdit de tomber, ici ou là, sur une équation algébrique de degré 5 (ou plus) que l’on sache résoudre explicitement.

Pour en savoir davantage sur ce sujet passionnant, je recommande vivement cet article écrit par le mathématicien Arnaud Beauville. Il comporte quatre chapitre : le premier nous concerne plus spécialement puisqu’il aborde l’histoire des équations du second degré; mais les trois suivants, quoique moins faciles d’accès, sont tout aussi passionnants. A noter aussi, du même auteur, cette présentation à lire en plein écran avec une visionneuse PDF (comme Acrobat Reader
par exemple). On peut aussi consulter cette vidéo, dans laquelle Arnaud Beauville nous raconte cette histoire en une cinquantaine de minutes.

Bref, il faut se résigner : la résolution d’une équation algébrique de degré supérieur ou égal à 5 n’est pas envisageable, au sens où on l’entend habituellement (voir l’encadré ci-dessus). Mais on peut néanmoins trouver des valeurs approchées, aussi précises qu’on le souhaite, pour les solutions.

Je propose de conclure cet article en examinant l’équation :

( $\blacklozenge$ ) $x^{5}+2x-1=0$

Si l’on considère la fonction $f$ définie pour tout $x\in\mathbb{R}$ par $f\left(x\right)=x^{5}+2x-1,$ alors sa dérivée est donnée par :

$f'\left(x\right)=5x^{4}+2>0$

ce qui montre la stricte croissance de $f.$ Comme les limites de $f$ en $-\infty$ et $+\infty$ sont infinies et de signes contraires, le théorème des valeurs intermédiaires assure l’existence d’un réel $\alpha$ tel que $f\left(\alpha\right)=0.$ En outre, $\alpha$ est l’unique solution de $\left(\blacklozenge\right)$ en raison de la stricte monotonie de $f.$

On observe en outre que $f\left(0\right)=-1$ et que $f\left(1\right)=2,$ ce qui prouve que $\alpha\in\left]0,1\right[.$

Le moyen le plus élémentaire améliorer cet encadrement est la méthode de dichotomie.

Elle consiste à construire une couple de suites réelles $\left(a_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}$ et $\left(b_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}$ de la manière suivante :

D’une part :

$a_{0}=0\qquad\text{et}\qquad b_{0}=1$

Et d’autre part, pour tout $n\in\mathbb{N}$ :

$\blacktriangleright$ si $f\left(a_{n}\right)$ et $f\left(\frac{a_{n}+b_{n}}{2}\right)$ sont de signes contraires, alors :

$\left\{ \begin{array}{ccc}a_{n+1} & = & a_{n}\\\\b_{n+1} & = & \frac{a_{n}+b_{n}}{2}\end{array}\right.$

$\blacktriangleright$ et sinon :

$\left\{ \begin{array}{ccc}a_{n+1} & = & \frac{a_{n}+b_{n}}{2}\\\\b_{n+1} & = & b_{n}\end{array}\right.$

Les quelques lignes de code ci-dessous, écrites en Python, permettent le calcul d’une valeur approchée de $\alpha$ avec une précision arbitraire. Vous n’aurez aucun mal à les adapter au cas d’une autre équation.

from fractions import Fraction as fr
 
def f(x):
   x2 = x * x
   x4 = x2 * x2
   return x * x4 + 2 * x - 1

def dichot(a, b, e):
   u = a
   v = b
   while v - u > e:
      m = (u + v) / 2
      if f(m) >= 0:
         v = m
      else:
         u = m
   return (u,v)

La fonction dichot, invoquée avec les arguments 0, 1 et 1e-7 renvoie les bornes d’un encadrement d’amplitude $\leqslant10^{-7}$ pour $\alpha$ .

L’import du module fractions autorise la manipulation de rationnels (plutôt que de nombres à virgule flottante), ce qui élimine non seulement les erreurs d’arrondis mais permet aussi d’atteindre une précision arbitraire.

dichot (0,1,1e-7)
(0.4863889813423157, 0.48638904094696045)

>>> dichot(fr(0,1), fr(1,1), fr(1,10000000))
Fraction(8160253,16777216),Fraction(4080127,8388608))

Le résultat de la première évaluation signifie que :

$\alpha\in\left[0.4863889813423157;\;0.48638904094696045\right]$

intervalle que l’on peut d’ailleurs élargir pour obtenir une amplitude de $10^{-7}$ exactement :

$\boxed{\alpha\in\left[0.4863889,\thinspace0.4863890\right]}$

Quant au résultat de la seconde évaluation, il signifie que :

$\alpha\in\left[\frac{8160253}{16777216},\frac{4080127}{8388608}\right]$

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Cet article a 2 commentaires

Oncle Junior 27 Oct 2022 Répondre

Bonjour Monsieur,
Lorsque vous évoquez Messieurs Lagrange, Abel et Galois avant le théorème de fin d’article, une barre I s’est perdue entre les deux X pour évoquer le 19-ème siècle (ou alors vous testez la culture historique de certains de vos élèves qui seraient ici 🙂 ) !
Bien à vous.
1. René Adad 27 Oct 2022 Répondre
  
  Encore une coquille débusquée grâce à votre lecture attentive ! Merci 🙂

Equations algébriques niveau lycée

De quoi s’agit-il ?

1 – Exemple Introductif

2 – Théorie générale

Exemple 1 avec $\Delta>0$

Exemple 2 avec $\Delta=0$

Exemple 3 avec $\Delta<0$

Remarque

3 – Second degré en mode furtif

Exemple 1 – Avec des fractions

Exemple 2 – Encore des fractions

Exemple 3 – Avec des racines carrées

Exemple 4 – Avec des valeurs absolues

Exemple 5 – Avec une racine carrée et une valeur absolue

Exemple 6 – Avec un changement d’inconnue

Exemple 7 – Un changement d’inconnue plus élaboré

4 – Résolution explicite impossible

Théorème (délibérément non formalisé)

J’aime ça :

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Exemple 2 – Encore des fractions

Exemple 3 – Avec des racines carrées

Exemple 4 – Avec des valeurs absolues

Exemple 5 – Avec une racine carrée et une valeur absolue

Exemple 6 – Avec un changement d’inconnue

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