Comment factoriser un polynôme ?

1 – « Factoriser » … De quoi s’agit-il ?

Une fonction polynôme (ou, pour faire court, un polynôme) est une fonction P que l’on peut définir, pour tout $x\in\mathbb{R},$ par une formule du type :

( $\diamondsuit$ ) $\boxed{P\left(x\right)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_{1}x+a_{0}}$

où $n$ est un entier positif et où $a_{n},$ $a_{n-1},$ …, $a_{0}$ sont $n+1$ nombres réels, appelés coefficients de P.

Si $a_{n}\neq0$ , on dit que $P$ est de degré $n.$

Par exemple, en choisissant $n=4$ ainsi que $a_{4}=3,$ $a_{3}=\frac{1}{2},$ $a_{2}=0,$ $a_{1}=-1$ et $a_{0}=\frac{7}{3}$ , on obtient, pour tout $x\in\mathbb{R}$ :

$P\left(x\right)=3x^{4}+\frac{x^{3}}{2}-x+\frac{7}{3}$

Ce polynôme est de degré $4.$

L’égalité $(\diamondsuit)$ fournit l’expression développée d’un polynôme $P.$ Mais un polynôme peut parfois se présenter sous un autre jour …

Considérons la fonction $Q$ définie pour tout $x\in\mathbb{R}$ par :

( $\star$ ) $Q\left(x\right)=\left(x^{2}+1\right)\left(x^{2}-x+2\right)$

$Q$ est un polynôme puisque, pour tout $x\in\mathbb{R}$ :

( $\star\star$ ) $Q\left(x\right)=x^{4}-x^{3}+3x^{2}-x+2$

Le passage de $\left(\star\right)$ à $\left(\star\star\right)$ se fait mécaniquement et ne soulève aucune difficulté (on transforme le produit en somme en utilisant la distributivité de la multiplication sur l’addition).

Mais aurions-nous été capables, en partant de $\left(\star\star\right),$ de retrouver $\left(\star\right)$ ?

C’est le problème de la factorisation.

L’intérêt de factoriser un polynôme résulte principalement de deux propriétés de la multiplication des nombres réels :

Propriété 1 (« intégrité ») : si $a,b\in\mathbb{R}$ sont tels que $ab=0,$ alors $a=0$ ou $b=0.$
Propriété 2 (« règle des signes ») : si $a,b\in\mathbb{R}$ sont de même signe (tous deux positifs ou nuls, ou bien tous deux négatifs ou nuls), alors $ab\geqslant 0$ et, s’ils sont de signes contraires, alors $ab\leqslant0.$

→ La propriété 1 est utile pour déterminer les racines éventuelles d’un polynôme : on résout l’équation $P\left(x\right)=0$ en cherchant à factoriser $P$ .

Précisons que $\alpha\in\mathbb{R}$ est une racine de $P,$ lorsque $P\left(\alpha\right)=0$ .

→ La propriété 2 permet l’étude du signe d’un polynôme, dès lors qu’on a obtenu une factorisation de celui-ci. Ceci s’avère notamment utile lorsqu’on étudie les variations d’une fonction polynôme : on doit déterminer le signe de sa dérivée (laquelle dérivée est, elle aussi polynomiale !). Ajoutons que cette remarque s’étend plus généralement à l’étude des variations d’une fraction de polynômes et, au-delà, au cas de fonctions dont le signe de la dérivée est contrôlé par un polynôme. Par exemple, une fonction de la forme $x\mapsto P(x)\,e^{Q(x)}$ où $P,Q$ sont des polynômes.

2 – Les outils de base

Factoriser un polynôme consiste donc à l’écrire (si possible) comme un produit …

… mais de façon « non triviale » !

Clairement, le fait d’écrire $x^{3}+x-2=1\times\left(x^{3}+x-2\right)$ n’intéresse pas grand monde…

Trois outils simples sont disponibles pour factoriser des polynômes. Les voici :

Règle 1

La propriété de distributivité, déjà invoquée plus haut avec le polynôme Q, dit que si $a,b,c$ sont trois nombres réels quelconques, alors $a\left(b+c\right)=ab+ac.$ En lisant cette égalité de droite à gauche, on dit qu’ « on met $a$ en facteur dans l’expression $ab+ac$ ».

Règle 2

Ensuite, viennent les identités remarquables « standard » :

$\begin{eqnarray*}a^{2}+2ab+b^{2} & = & \left(a+b\right)^{2} & (1)\\a^{2}-2ab+b^{2} & = & \left(a-b\right)^{2} & (1bis)\\a^{2}-b^{2} & = & \left(a-b\right)\left(a+b\right) & (2) \end{eqnarray*}$

qui sont valables pour tous nombres réels $a,b.$

Règle 3

Enfin, si $P$ est un polynôme et si $\alpha\in\mathbb{R}$ est une racine de $P,$ alors il existe un polynôme $Q$ tel que, pour tout $x\in\mathbb{R}$ :

$P\left(x\right)=\left(x-\alpha\right)\thinspace Q\left(x\right)$

et l’on peut déterminer $Q$ par identification des coefficients (voir exemple 3 ci-dessous).

Voyons quelques exemples d’utilisation de ces règles …

Exemple 1

Pour factoriser $A\left(x\right)=x^{3}-4x,$ on applique d’abord la distributivité, ce qui donne :

$A\left(x\right)=x\left(x^{2}-4\right)$

Il ne faut pas s’arrêter en si bon chemin, puisque d’après l’identité remarquable (2), on a $x^{2}-4=x^{2}-2^{2}=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$ . Ainsi :

$\fcolorbox{black}{myBlue}{$A\left(x\right)=x\left(x-2\right)\left(x+2\right)$}$

Exemple 2

Pour factoriser $B\left(x\right)=x^{2}-4x+1,$ on effectue une mise sous forme canonique (technique à la base de la résolution des équations du second degré), ce qui consiste à modifier l’écriture de $B\left(x\right)$ pour faire apparaître une différence de deux carrés :

$B\left(x\right)=\left(x-2\right)^{2}-3$

On utilise alors l’identité remarquable (2) :

$\fcolorbox{black}{myBlue}{$B\left(x\right)=\left(x-2-\sqrt{3}\right)\left(x-2+\sqrt{3}\right)$}$

Exemple 3

Pour factoriser $C\left(x\right)=x^{3}-2x+1,$ on observe que $C\left(1\right)=0.$ Il est donc possible de mettre $\left(x-1\right)$ en facteur :

$C\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(ax^{2}+bx+c\right)$

où $a,b$ et $c$ sont à préciser. Le calcul de ces trois coefficients se fait par identification. Cette technique, qui repose sur l’unicité de la liste des coefficients d’un polynôme, permet d’affirmer que

$\left\{ \begin{array}{cccc}a & = & 1 & (\text{coefft de }x^{3})\\\\b-a & = & 0 & (\text{coefft de }x^{2})\\\\c-b & = & -2 & (\text{coefft de }x)\\\\-c & = & 1 & (\text{coefft constant)}\end{array}\right.$

Ce système se résout aisément et l’on obtient :

$a=1\qquad b=1\qquad c=-1$

Ainsi :

$C\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(x^{2}+x-1\right)$

Ce n’est pas tout à fait fini, puisque le trinôme $x^{2}+x-1$ se factorise à son tour (voir exemple 2 pour la méthode) :

$x^{2}+x-1=\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}-\frac{5}{4}=\left(x+\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{5}}{2}\right)\left(x+\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2}\right)$

En conclusion :

$\fcolorbox{black}{myBlue}{$C\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(x+\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)\left(x+\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)$}$

Exemple 4

Pour factoriser $D\left(x\right)=x^{6}-1,$ on peut commencer avec l’identité remarquable (2) :

$D\left(x\right)=\left(x^{3}\right)^{2}-1^{2}=\left(x^{3}-1\right)\left(x^{3}+1\right)$

Pour aller plus loin, il faut savoir factoriser $D_{1}\left(x\right)=x^{3}-1$ et $D_{2}\left(x\right)=x^{3}+1.$

On peut observer que $D_{1}\left(1\right)=0$ et $D_{2}\left(-1\right)=0,$ ce qui permet de factoriser $D_{1}\left(x\right)$ par $\left(x-1\right)$ et $D_{2}\left(x\right)$ par $\left(x+1\right).$ Les détails sont laissés au lecteur 🙂

On trouve au final :

$\fcolorbox{black}{myBlue}{$D\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(x^{2}+x+1\right)\left(x+1\right)\left(x^{2}-x+1\right)$}$

et cette factorisation ne peut pas être améliorée, car aucun des deux trinômes $x^{2}+x+1$ et $x^{2}-x+1$ ne possède de racine réelle.

Cette dernière affirmation se justifie par le fait que, pour tout $x\in\mathbb{R}$ :

$x^{2}+x+1=\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}+\frac{3}{4}>0$

et argument analogue pour $x^{2}-x+1$ (on peut aussi calculer les discriminants de ces deux trinômes et constater qu’ils sont, l’un comme l’autre, strictement négatifs).

3 – D’autres identités remarquables

Dans l’exemple 4 ci-dessus, nous avons factorisé $D_{1}\left(x\right)=x^{3}-1$ sous la forme :

$x^{3}-1=\left(x-1\right)\left(x^{2}+x+1\right)$

en exploitant le fait que 1 est une racine de $D_{1},$ ce qui nous a permis de mettre $\left(x-1\right)$ en facteur d’un certain trinôme, lequel trinôme a ensuite été obtenu par identification.

Nous aurions pu invoquer l’identité remarquable suivante, valable pour tous réels $a,b$ :

( $\heartsuit$ ) $a^{3}-b^{3}=\left(a-b\right)\left(a^{2}+ab+b^{2}\right)$

Nous pouvons appliquer $(\heartsuit)$ pour factoriser $E\left(x\right)=x^{3}+8.$ En effet :

$E\left(x\right)=x^{3}-\left(-8\right)=x^{3}-\left(-2\right)^{3}=\left(x+2\right)\left(x^{2}-2x+4\right)$

On peut pousser le curseur un cran plus loin, avec la généralisation suivante de l’identité $(\heartsuit),$ qui donne une factorisation pour la différence de deux puissances $n-$ èmes (l’entier $n$ est supérieur ou égal à $2$ ) :

( $\diamond$ ) $\boxed{a^{n}-b^{n}=\left(a-b\right)\left(a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots+ab^{n-2}+b^{n-1}\right)}$

La somme qui apparaît en facteur de $\left(a-b\right)$ est composée de $n$ termes : le premier est $a^{n-1}$ et les suivants sont obtenus en réduisant progressivement l’exposant de $a,$ tandis que l’exposant de b est progressivement augmenté. Par exemple, pour $n=4$ :

$a^{4}-b^{4}=\left(a-b\right)\left(a^{3}+a^{2}b+ab^{2}+b^{3}\right)$

et pour n=5 :

$a^{5}-b^{5}=\left(a-b\right)\left(a^{4}+a^{3}b+a^{2}b^{2}+ab^{3}+b^{4}\right)$

et ainsi de suite …

Si vous avez l’habitude à la notation $\Sigma$ , vous comprendrez que la formule $(\diamond)$ s’écrive ainsi :

$a^{n}-b^{n}=\left(a-b\right)\sum_{k=1}^{n}a^{k-1}b^{n-k}$

4 – Factoriser en utilisant le « test des racines rationnelles »

Dans l’exemple 3, nous avons « observé » que $C\left(1\right)=0.$ On peut raisonnablement considérer que ça saute au yeux … Et puis, lorsqu’on cherche à factoriser un polynôme à coefficients entiers, la première chose qu’on fait généralement consiste à l’évaluer en 1 ou en -1 et peut-être aussi en d’autres petits entiers, en espérant mettre la main sur une racine et commencer ainsi le processus de factorisation.

Considérons maintenant le cas de

$F\left(x\right)=5x^{4}-7x^{3}+5x^{2}-2x-7$

On peut essayer patiemment :

$F\left(1\right)=-6\qquad F\left(-1\right)=12\qquad F\left(2\right)=33\qquad F\left(-2\right)=153\qquad\cdots$

Point de racine en vue 🙁

Peut-être ce polynôme ne possède-t-il aucune racine réelle ? Ou alors seulement des racines irrationnelles ?

Peut-être existe-t-il des racines rationnelles (mais bien cachées) ? Et si oui, comment les trouver ?

C’est là qu’intervient le « test des racines rationnelles », dont voici l’énoncé :

Test des racines rationnelles

Soit $f$ un polynôme défini par :

$f\left(x\right)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_{1}x+a_{0}$

où les coefficients $a_{i}$ sont tous entiers. On suppose $a_{0}$ et $a_{n}$ non nuls.
Si $f$ possède une racine rationnelle $\frac{p}{q}$ avec $p$ entier naturel, $q$ entier relatif non nul et de plus $p$ et $q$ premiers entre eux (ce qui signifie que la fraction $\frac{p}{q}$ est irréductible), alors $p$ est un diviseur de $a_{0}$ et $q$ est un diviseur de $a_{n}$ ce qu’on note comme ceci :

( $\clubsuit$ ) $p\mid a_{0}\qquad\text{et}\qquad q\mid a_{n}$

Nous n’allons pas démontrer ce résultat ici (sa preuve se trouve dans tous les cours standards d’arithmétique; elle repose pour l’essentiel sur le théorème de Gauss, qui affirme que si un entier naturel divise le produit de deux entiers naturels et s’il est premier avec l’un d’eux, alors il divise l’autre).

En revanche, nous allons nous en servir pour déterminer les éventuelles racines rationnelles de

$F\left(x\right)=5x^{4}-7x^{3}+5x^{2}-2x-7$

La condition nécessaire $(\clubsuit)$ s’écrit :

$p\mid7\qquad\text{et}\qquad q\mid5$

ce qui laisse assez peu de possibilités :

$p\in\left\{ 1,7\right\} \qquad\text{et}\qquad q\in\left\{ -5,-1,1,5\right\}$

Les éventuelles racines rationnelles de $F$ figurent donc parmi les nombres suivants :

$-7,\:-\frac{7}{5},\:-1,\:-\frac{1}{5},\:\frac{1}{5},\:1,\:\frac{7}{5},\:7$

Muni d’une calculette ou d’un ordinateur, on peut rapidement tester chacune de ces huit valeurs … et constater que la seule racine rationnelle de $F$ est $\displaystyle{\frac{7}{5}}.$

Et on ne peut pas, raisonnablement, qualifier cette racine d’évidente !

Et maintenant ? La [Règle 3] permet de factoriser par $\left(x-\frac{7}{5}\right)$ ou, ce qui revient au même, par $\left(5x-7\right).$ Il existe ainsi un polynôme $G$ de degré $3$ tel que, pour tout $x\in\mathbb{R}$ :

$5x^{4}-7x^{3}+5x^{2}-2x-7=\left(5x-7\right)\thinspace G\left(x\right)$

La dernière étape consiste à calculer les coefficients de $G$ , ce qu’on peut faire par identification ou bien en posant la division. On trouve au final :

$\fcolorbox{black}{myBlue}{$5x^{4}-7x^{3}+5x^{2}-2x-7=\left(5x-7\right)\left(x^{3}+x+1\right)$}$

J’espère que ce rapide survol vous aura plu 🙂

Vos questions ou remarques seront toujours les bienvenues. Vous pouvez laisser un commentaire ci-dessous ou bien passer par le formulaire de contact.

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