(n+1)(n+2)…(n+k) est multiple de k!
Lorsqu'on multiplie k entiers consécutifs, on obtient invariablement un multiple de la factorielle de k. Cet article propose trois preuves de difficultés inégales de ce résultat.
Challenge 8 : une histoire de bitangente
Le graphe d'une fonction polynomiale de degré 4 peut, dans certains, cas posséder une unique droite "bitangente". Le challenge n°8 de Math-OS propose l'étude d'un exemple.
Challenge 7 : Maximum de ln(1 + x) ln(1 + 1/x)
Quelle peut bien être la valeur maximum de l'expression ln(1+x) * ln(1+1/x) pour x>0 ? C'est le challenge n° 7 du blog math-os :)
Challenge 6 : Majoration d’une somme de série
Challenge n° 6 du blog math-os : la somme de la série de terme général (1-2^(-n)^(2^k) est majorée par n+1. Sauriez-vous le prouver ?
Challenge 5 : une équation fonctionnelle
Sauriez-vous déterminer les solutions de l'équation fonctionnelle f(x) f(y) = |x - y| f((xy + 1) / (x - y)) ? C'est le challenge n° 5 du blog math-os :)
Image directe / Image réciproque d’une partie
Les concepts d'image directe et d'image réciproque apparaissent très vite, dès que l'on commence à se familiariser avec les ensembles et les applications. Ils sont très généraux et interviennent de ce fait dans des contextes très divers ! Il est donc impératif de les maîtriser au plus tôt et j'espère que cet article pourra y contribuer :)
Challenge 4 : Une question d’irrationalité
Sauriez-vous établir l'irrationalité de √p + √q, si p,q sont des entiers naturels non carrés parfaits ? C'est le challenge n° 4 du blog math-os :)
1001 façons de prouver qu’une famille de vecteurs est libre
Pour montrer qu'une famille de vecteurs est libre, il y a bien sûr une définition (comme toujours en mathématiques). Mais selon le contexte, des méthodes ad hoc et quelques astuces techniques viennent enrichir le sujet. Cet article, qui ne prétend nullement à l'exhaustivité en la matière, en indique quelques unes parmi les plus classiques.
Challenge 3 : une somme trigonométrique
Sauriez-vous calculer explicitement sin(2π/7) + sin(4π/7) + sin(8π/7) ? C'est le challenge n° 3 du blog math-os :)
Principales propriétés des coefficients binomiaux
Cet article présente l'essentiel de ce qu'il faut savoir au sujet des coefficients binomiaux. Formules de Pascal, de Fermat, binôme de Newton... mais aussi formule "du pion", somme d'une colonne ou d'une diagonale dans le triangle de Pascal.