Section 1
Faisons maintenant une hypothèse plus forte, à savoir que soient de classe (c’est-à-dire dérivables et à dérivée continue). On peut alors intégrer l’égalité ci-dessus sur pour obtenir :
c’est-à-dire :
C’est la formule d’intégration par parties (IPP).
Deux intégrales figurent dans cette formule. Donc, si l’on sait calculer l’une d’elles, alors on sait aussi calculer l’autre ! C’est aussi simple que ça.
2 – Un premier exemple
Commençons avec l’intégrale :
puis :
soit finalement :
3 – La notation « crochets »
Il est d’usage courant, si désigne une fonction définie sur , de noter pour désigner la différence , qu’on appelle parfois la variation de entre et .
Si est continue et si désigne une primitive de , l’égalité
peut donc s’écrire
ou éventuellement
cette dernière notation pouvant s’avérer utile dans certains contextes, où d’autres symboles sont présents en plus de celui représentant la variable d’intégration. Par exemple, si et :
L’intérêt d’écrire plutôt que est clair : cela permet d’éviter, dans le calcul du terme entre crochets, de remplacer une autre lettre que par et par !
4 – Trois exemples supplémentaires
Calculons chacune des intégrales suivantes :
Pour , nous allons intégrer par parties en posant :
ainsi que :
ce qui conduit à :
où est l’intégrale calculée plus haut ! Ainsi :
Pour , nous allons intégrer par parties en posant :
ainsi que :
ce qui donne :
Le terme entre crochets est nul.
Quant à la dernière intégrale écrite, on a intérêt à l’écrire comme ceci :
de sorte que et finalement :
Remarque
Intégrer par parties n’était pas un passage obligé pour le calcul de .
On pouvait linéariser l’expression en écrivant que, pour tout :
ce qui permet un calcul direct :
Enfin, pour , il faut un petit peu d’astuce. Posons :
ainsi que :
ce qui conduit à :
soit finalement :
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