Dans ce cas, ce serait sympa que vous mettiez également la méthode n’usant que de changements de variable, parce que j’ai fait pas mal d’essais en ce sens avant de me résoudre à chercher autre chose et aboutir ce que je vous ai écrit… Je suis un peu rouillé, je suis agrégé dans le secondaire, mais il y a encore quelques années je faisais des colles en MPSI, c’est d’ailleurs en cherchant des exercices que j’étais tombé sur votre site. Maintenant je ne fais plus de maths de niveau post Bac, mais comme je reçois vos mails, cet exercice m’a intrigué.
J’ai un truc qui marche, mais c’est un peu lourd. Changement de variable pour faire apparaître des sinus dans les intégrales. Ensuite, f étant continue sur le segment [0,1], utilisation du théorème de (Stone-)Weierstass, ce qui grâce à la convergence uniforme permet de n’avoir à démontrer l’égalité que pour f = x^n. L’intégrale de gauche est une intégrale de Wallis (de rang impair) et on vérifie que celle de droite prend la même valeur initiale et satisfait la même relation de récurrence. Voilà, je n’ai pas trouvé plus élégant, ce qui prouve l’égalité. Je regarderai comment vous faites quand votre solution sera en ligne. Il y a quelques années déjà, j’avais calculé une somme trigonométrique avec pas mal d’huile de coude, alors que vous aviez donné une solution beaucoup plus courte basée sur la décomposition en éléments simples.
Cette méthode est l’une de celles que j’ai prévu de mettre en ligne sous peu. Je trouve aussi qu’elle est très élégante. Mais il y a plus élémentaire : on peut s’en sortir via quelques changements de variables. Il y a aussi un point de vue probabiliste.
![f:\left[0,1\right]\rightarrow\mathbb{R}](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-24d21c2af9c99ccd14b07bf411b8970d_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
:![\[\int_{0}^{1}f\left(1-t^{2}\right)\thinspace dt=\int_{0}^{1}f\left(2t\sqrt{1-t^{2}}\right)\thinspace dt\]](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7b38507842c451c21d5cc945a03b3692_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Dans ce cas, ce serait sympa que vous mettiez également la méthode n’usant que de changements de variable, parce que j’ai fait pas mal d’essais en ce sens avant de me résoudre à chercher autre chose et aboutir ce que je vous ai écrit… Je suis un peu rouillé, je suis agrégé dans le secondaire, mais il y a encore quelques années je faisais des colles en MPSI, c’est d’ailleurs en cherchant des exercices que j’étais tombé sur votre site. Maintenant je ne fais plus de maths de niveau post Bac, mais comme je reçois vos mails, cet exercice m’a intrigué.
C’est fait 🙂
Bonne lecture !
J’ai un truc qui marche, mais c’est un peu lourd. Changement de variable pour faire apparaître des sinus dans les intégrales. Ensuite, f étant continue sur le segment [0,1], utilisation du théorème de (Stone-)Weierstass, ce qui grâce à la convergence uniforme permet de n’avoir à démontrer l’égalité que pour f = x^n. L’intégrale de gauche est une intégrale de Wallis (de rang impair) et on vérifie que celle de droite prend la même valeur initiale et satisfait la même relation de récurrence. Voilà, je n’ai pas trouvé plus élégant, ce qui prouve l’égalité. Je regarderai comment vous faites quand votre solution sera en ligne. Il y a quelques années déjà, j’avais calculé une somme trigonométrique avec pas mal d’huile de coude, alors que vous aviez donné une solution beaucoup plus courte basée sur la décomposition en éléments simples.
Cette méthode est l’une de celles que j’ai prévu de mettre en ligne sous peu. Je trouve aussi qu’elle est très élégante. Mais il y a plus élémentaire : on peut s’en sortir via quelques changements de variables. Il y a aussi un point de vue probabiliste.