Solutions - Exercices sur les suites numériques - 02

Solutions détaillées de neuf exercices sur les suites numériques (fiche 02).
Cliquer ici pour accéder aux énoncés.

Soit $u$ une suite réelle croissante et $p-$ périodique (avec $p\geqslant1)$ et soient $m,n\in\mathbb{N}$ tels que $m<n.$

D’une part : $u_{m}\leqslant u_{n}.$ D’autre part, il existe $k\geqslant1$ tel que $n<m+kp$ et donc $u_{n}\leqslant u_{m+kp}=u_{m}.$

Ainsi : $u_{m}=u_{n}.$ En conclusion, toute suite réelle croissante et périodique est nécessairement constante (et même conclusion pour une suite décroissante et périodique : il suffit d’appliquer ce qui précède à la suite opposée).

On montre par récurrence que, pour tout $n\in\mathbb{N}$ :

$\boxed{x_{n}=\sin^{2}\left(2^{n}\theta\right)}$

Cette égalité est vraie par hypothèse pour $n=0.$ Supposons-la vraie pour un certain $n\in\mathbb{N};$ alors :

$\begin{eqnarray*}x_{n+1} & = & 4\sin^{2}\left(2^{n}\theta\right)\left(1-\sin^{2}\left(2^{n}\theta\right)\right)\\& = & \left(2\sin\left(2^{n}\theta\right)\cos\left(2^{n}\theta\right)\right)^{2}\\& = & \sin^{2}\left(2^{n+1}\theta\right)\end{eqnarray*}$

comme souhaité.

Si cette suite converge, sa limite $\ell$ doit vérifier $\ell^{2}-\ell+\frac{1}{4}=0$ et donc $\ell=\frac{1}{2}.$ Pour tout $n\in\mathbb{N}$ :

$u_{n+1}-u_{n}=u_{n}^{2}-u_{n}+\frac{1}{4}=\left(u_{n}-\frac{1}{2}\right)^{2}\geqslant0$

La suite $u$ est donc croissante (strictement ssi $a\neq\frac{1}{2}).$ Notons $a=u_{0}$ et distinguons plusieurs cas :

Si $0\leqslant a<\frac{1}{2},$ la suite $u$ est majorée par $\frac{1}{2}$ (récurrence immédiate) donc converge (vers $\frac{1}{2}$ d’après ce qui a été dit plus haut).
Si $a=\frac{1}{2},$ la suite $u$ est constante !
Enfin, si $a>\frac{1}{2},$ la suite $u$ n’est pas majorée, car sinon elle convergerait et sa limite $\ell$ vérifierait $\ell>\frac{1}{2},$ ce qui n’est pas possible. Elle est ainsi croissante et non majorée, donc diverge vers $+\infty.$

Illustration dynamique

On voit ci-dessous les graphes de $x\mapsto x^2+\frac14$ et de $x\mapsto x$ , ainsi qu’une ligne polygonale montrant le calcul des premiers termes de la suite $(x_n)_{n\geqslant0}$ . En déplaçant le curseur latéralement tout en pressant la touche SHIFT, on fait varier la valeur de $s$ , c’est-à-dire de $x_0$ .

Tout d’abord, les deux suites sont bien définies et à termes strictement positifs. Ensuite, on observe que $u_{0}-v_{0}=a-b>0$ et que, pour tout $n\in\mathbb{N}$ :

$\begin{eqnarray*}u_{n+1}-v_{n+1} & = & \frac{u_{n}+v_{n}}{2}-\frac{2u_{n}v_{n}}{u_{n}+v_{n}}\\& = & \frac{\left(u_{n}-v_{n}\right)^{2}}{2\left(u_{n}+v_{n}\right)}\geqslant0\end{eqnarray*}$

Ainsi :

$\forall n\in\mathbb{N},\thinspace u_{n}\geqslant v_{n}$

Ajoutons que, si l’on suppose $u_{n}\neq v_{n}$ (ce qui est le cas pour $n=0),$ alors le calcul ci-dessus montre que $u_{n+1}\neq v_{n+1}.$ On peut donc affirmer que :

$\boxed{\forall n\in\mathbb{N},\thinspace u_{n}>v_{n}}$

Ensuite, pour tout $n\in\mathbb{N}$ :

$u_{n+1}-u_{n}=\frac{1}{2}\left(u_{n}+v_{n}\right)-u_{n}=\frac{1}{2}\left(v_{n}-u_{n}\right)\leqslant0$

et :

$\frac{v_{n+1}}{v_{n}}=\frac{2u_{n}}{u_{n}+v_{n}}\geqslant1$

Ceci montre que $u$ est décroissante et que $v$ est croissante. Comme $u$ est décroissante et minorée par $v_{0},$ elle converge vers un réel $\alpha.$ De même, $v$ est croissante et majorée par $u_{0},$ donc converge vers un réel $\beta.$ En passant à la limite dans l’égalité ${\displaystyle u_{n+1}=\frac{1}{2}\left(u_{n}+v_{n}\right)},$ on obtient $\alpha=\beta.$ Enfin, on constate que pour tout $n\in\mathbb{N}$ :

$\begin{eqnarray*}u_{n+1}v_{n+1} & = & \frac{u_{n}+v_{n}}{2}\,\frac{2u_{n}v_{n}}{u_{n}+v_{n}}\\& = & u_{n}v_{n}\end{eqnarray*}$

La suite $\left(u_{n}v_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}$ est donc constante :

$\forall n\in\mathbb{N},\,u_{n}v_{n}=ab$

En passant à la limite dans cette dernière égalité, on obtient $\alpha^{2}=ab,$ d’où finalement :

$\boxed{\alpha=\sqrt{ab}}$

Remarque

Il est intéressant de noter que, pour tout $n\in\mathbb{N},$ $u_{n+1}$ (resp. $v_{n+1})$ est la moyenne arithmétique (resp. harmonique) de $u_{n}$ et $v_{n}.$ Les deux suites convergent vers une limite commune : la moyenne géométrique des deux termes initiaux.

Pour préciser ces histoires de moyennes, on pourra consulter le lexique

Vérifions que la suite $r$ est croissante et converge vers $x,$ et que la suite $s$ est décroissante et converge aussi vers $x.$ Pour tout $n\in\mathbb{N}$ :

( $\star$ ) $\left\lfloor 10^{n}x\right\rfloor \leqslant10^{n}x<\left\lfloor 10^{n}x\right\rfloor +1$

donc, après multiplication par $10^{-n}$ :

$r_{n}\leqslant x<r_{n}+10^{-n}$

Autrement dit :

$0\leqslant x-r_{n}<10^{-n}$

Ceci prouve que la suite $r$ converge vers $x.$

Par ailleurs, en multipliant par $10$ l’inégalité de gauche dans $\left(\star\right)$ :

$10\left\lfloor 10^{n}x\right\rfloor \leqslant10^{n+1}x$

donc, vu que le membre de gauche est entier :

$10\left\lfloor 10^{n}x\right\rfloor \leqslant\left\lfloor 10^{n+1}x\right\rfloor$

et donc $r_{n}\leqslant r_{n+1},$ après multiplication par $10^{-\left(n+1\right)}.$

Ceci montre que la suite $r$ est croissante. La démarche est analogue pour la suite $s.$

Supposons que $f$ n’admette aucun point fixe, c’est-à-dire que l’application $g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},\thinspace x\mapsto f\left(x\right)-x$ ne s’annule pas. Etant continue, $g$ doit être de signe constant, ce qui entraîne que $x_{n+1}-x_{n}$ est de signe constant. Ainsi, la suite $\left(x_{n}\right)_{n\geqslant0}$ est monotone. On a prouvé par contraposition que si cette suite n’est pas monotone, alors $f$ possède au moins un point fixe.

Par l’absurde. Supposons que la suite de terme général $d\left(x_{n},K\right)$ ne converge pas vers $0.$

Il existe alors $\epsilon>0$ tel que :

$\forall N\in\mathbb{N},\thinspace\exists n\geqslant N;\thinspace d\left(x_{n},K\right)>\epsilon$

On peut donc construite une suite extraite $\left(x_{\varphi\left(n\right)}\right)$ telle que $\forall n\in\mathbb{N},\thinspace d\left(x_{\varphi\left(n\right)},K\right)>\epsilon.$

Le théorème de Bolzano-Weierstrass permet d’extraire de $\left(x_{\varphi\left(n\right)}\right)$ une sous-suite convergente $\left(x_{\varphi\circ\psi\left(n\right)}\right),$ de limite $a\in K.$ En passant à la limite dans l’inégalité

$d\left(x_{\varphi\circ\psi\left(n\right)},K\right)\geqslant\epsilon$

et par continuité de $x\mapsto d\left(x,K\right),$ il vient :

$d\left(a,K\right)\geqslant\epsilon$

En particulier, $d\left(a,K\right)\neq0$ ce qui est absurde.

Dans ce qui suit, on notera $\left\{ X\right\}$ la partie fractionnaire d’un réel $X.$

La suite de terme général $u_{n}=\left\{ \sqrt{n}\right\}$ est à valeurs dans $\left[0,1\right[,$ donc l’ensemble $K$ de ses valeurs d’adhérence est contenu dans $\left[0,1\right].$ Si l’on montre que $\left[0,1\right[\subset K,$ cela permettra de conclure que $K=\left[0,1\right].$ Considérons donc $\lambda\in\left[0,1\right[.$

L’idée de base est que si $f\left(n\right)=\left(n+\lambda\right)^{2}$ alors $\left\{ \sqrt{\left(n+\lambda\right)^{2}}\right\} =\lambda,$ mais il n’est pas question d’écrire $u_{f\left(n\right)}=\lambda,$ car l’application $f$ n’est pas à valeurs entières ! Qu’à cela ne tienne …

Posons pour tout $n\in\mathbb{N}$ :

$\varphi\left(n\right)=n^{2}+\left\lfloor 2\lambda n\right\rfloor$

Un DL à l’ordre 1 montre que :

$\sqrt{n^{2}+2\lambda n}=n+\lambda+o\left(1\right)$

et même chose pour $\sqrt{n^{2}+2\lambda n-1}.$ Or :

$\sqrt{n^{2}+2\lambda n-1}<\sqrt{n^{2}+\left\lfloor 2\lambda n\right\rfloor }\leqslant\sqrt{n^{2}+2\lambda n}$

et donc :

$u_{\varphi\left(n\right)}=\left\{ \sqrt{n^{2}+\left\lfloor 2\lambda n\right\rfloor }\right\} =\lambda+o\left(1\right)$

Comme la suite $\left(\varphi\left(n\right)\right)_{n\geqslant0}$ diverge vers $+\infty,$ on peut en extraire une suite $\left(\varphi\circ\psi\left(n\right)\right)_{n\geqslant0}$ strictement croissante, moyennant quoi la suite $\left(u_{\varphi\circ\psi\left(n\right)}\right)$ :

est extraite de $\left(u_{\varphi\left(n\right)}\right)$ donc converge vers $\lambda$
est extraite de $u$

ce qui prouve que $\lambda\in K.$

Soit $x$ une suite réelle quelconque. Considérons l’ensemble :

$P=\left\{ k\in\mathbb{N};\thinspace\forall n>k,\thinspace x_{n}\geqslant x_{k}\right\}$

Si $P$ est infini, on peut énumérer ses éléments $k_0<k_1<\cdots$ et la suite $\left(x_{k_n}\right)_{n\in\mathbb{N}}$ est croissante par construction. Dans le cas contraire, notons :

$N=\left\{ \begin{array}{cc} \max\left(P\right) & \text{si }P\neq\emptyset\\ -1 & \text{sinon} \end{array}\right.$

Pour tout $k>N$ il existe $n>k$ tel que $x_n<x_k$ . Posons $k_0=N+1$ puis $k_1=\min\{n>k_0;\,x_n<x_{k_0}\}$ . En supposant avoir construit, pour un certain $p\in\mathbb{N}$ , des entiers $k_0<\cdots<k_p$ tels que $x_{k_0}>x_{k_1}>\cdots>x_{k_p},$ on pose $k_{p+1}=\min\left\{ n>k_{p};\thinspace x_{n}<x_{k_{p}}\right\} .$

On construit ainsi, par récurrence, une suite extraite $\left(x_{k_{n}}\right)_{n\in\mathbb{N}}$ strictement décroissante.

Si un point n’est pas clair ou vous paraît insuffisamment détaillé, n’hésitez pas à poster un commentaire ou à me joindre via le formulaire de contact.

Partager cet article

Illustration dynamique

Remarque

Laisser un commentaire Annuler la réponse