

Comme la série converge, la suite
converge vers 0 : elle est en particulier bornée.
Notons tel que :


Remarque
Si les deux séries et
sont supposées semi-convergentes, alors la convergence de la série
n’est plus assurée en général.
Contre-exemple :

Pour tout :


Cette formule a été établie, dans des cas particulier, par Pietro Mengoli en 1650. A ce sujet, on pourra consulter cette vidéo.

On utilise le fait que :

![Rendered by QuickLaTeX.com t\in\left[0,1\right]](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3be682b6dec802a6bc041e84b876fdf4_l3.png)



Posons pour tout :



Ces séries sont connues sous le nom de séries de Bertrand. Elles sont considérées comme des séries de références (au même titre que les séries géométriques ou les séries de Riemann).
Notons, pour tout :
- Supposons
et soit
En écrivant
sous la forme :
est majorée par 1 APCR (puisqu’elle converge vers 0 d’après la propriété des croissances comparées). La série
est donc convergente, par comparaison avec une série de Riemann.
- Supposons
et soit
En écrivant
sous la forme :
est minorée par
APCR (puisqu’elle diverge vers l’infini, d’après la propriété des croissances comparées). La série
est donc divergente, par comparaison avec une série de Riemann.
- Enfin, si
on compare avec un intégrale. Pour tout
:
décroît sur
Après sommation :
Remarque
Une proposition analogue concernant des intégrales impropres, est présentée dans cet article.

Soient et
On sait (voir cet article \url{https://math-os.com/series-numeriques-partie-2/#section-5} pour les détails) que la série :

![Rendered by QuickLaTeX.com t\in\left[0,1\right],](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d719a2b3e7348ff815735e1ec4ebcbaf_l3.png)







Il suffit d’appliquer la règle d’Abel. En effet, la suite converge vers
en décroissant et la suite de terme général :
Bon. Tous comptes faits, cet exercice aurait mérité un petit pictogramme vert. C’est juste l’intervention de la règle d’Abel qui m’a fait hésiter …

Question 1
La série converge d’après la règle de d’Alembert. En effet, si l’on pose
alors pour tout
:

Pour calculer sa somme, appliquons la formule de Taylor avec reste intégral à la fonction exponentielle. Pour tout




Remarque 1
La preuve préalable de la convergence via la règle de d’Alembert était superflue, puisque la suite du calcul prouve la convergence (et donne en prime la valeur de la somme).
Remarque 2
On notera que où :
Remarque 3
D’une manière générale (et par une preuve similaire, reposant sur la formule de Taylor avec reste intégral) :
Question 2
D’évidence, le reste est minoré par son premier terme :


Question 3
Avec les notations introduits précédemment, à savoir :






![Rendered by QuickLaTeX.com \left[0,\frac{1}{2}\right]](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-fcb0a65d899b3459c24691d7a30ad045_l3.png)


![Rendered by QuickLaTeX.com \left[0,\frac{\pi}{2}\right],](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0f30e471b0e5972587b167f22046017d_l3.png)




Le résultat établi dans cet exercice est connu sous le nom de théorème de Mertens.
Notons pour tout :

D’une part :




De manière plus explicite :









Lemme
Si ACV et si
alors
Preuve (cliquer pour déplier / replier)
Notons Etant donné
il existe
tel que




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