Solution pour le challenge 52
En expérimentant avec de petites valeurs de on conjecture que cette somme est égale à
Posons donc :

Méthode 1 (proposée par Hervé CLAVIER, enseignant)
Pour tout :
En posant

Or :
ce qui fait apparaître une sommation télescopique. Il reste après simplification :

Méthode 2 (probabiliste)
On considère dans ce qui suit, une urne contenant boules numérotées de 1 à
(avec
On effectue une succession de tirages d’une boule, avec remise, et l’on note la variable aléatoire indiquant le rang du tirage au cours duquel, pour la première fois, on obtient une boule déjà obtenue auparavant.
Une boule donnée peut réapparaître dès le second tirage et, au plus tard, lors du -ème tirage. On voit donc facilement que l’ensemble des valeurs atteintes par
est :









Si





Au final, la relation :
Méthode 3 (un parfum de fonction 𝚪)
On sait (voir l’exercice n° 3 de cette fiche) que pour tout :



soit


On obtient :
![Rendered by QuickLaTeX.com \displaystyle{A_{n}=\underbrace{\left[-\left(1+t\right)^{n}\,e^{-nt}\right]_{t=0}^{+\infty}}_{=1}+n\,\int_{0}^{+\infty}\,\left(1+t\right)^{n-1}\,e^{-nt}\,dt}](https://math-os.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c30f29e3498897e975e8951e89eeee2b_l3.png)
et donc

Méthode 4 (une formule plus générale)
On commence par le :
Lemme
Etant donné un entier et des réels
:
Note : on utilise la convention usuelle selon laquelle un produit indexé par l’ensemble vide est égal à 1.
Cette formule se prouve aisément par récurrence, ou bien en observant que la sommation peut être rendue télescopique. En effet, pour tout :
L’entier étant fixé, si l’on choisit
c’est-à-dire :
ou encore :
Pour consulter l’énoncé, c’est ici