qr-00017

Question

Bonjour, j’ai un petit souci concernant une preuve en mathématiques, sur la combinatoire et le dénombrement. On doit prouver que le coefficient binomial du milieu est toujours le plus grand quel que soit n, je ne vois pas du tout comment faire ! Merci.

Réponse

Tout d’abord, cette question doit être légèrement reformulée puisque si n est impair, il n’y a pas de « coefficient binomial du milieu » … il y en a plutôt deux dans ce cas, à savoir \binom{2p+1}{p} et \binom{2p+1}{p+1}. Et il sont égaux, vue la propriété de symétrie, qui dit que pour tout n\in\mathbb{N} et pour tout k\in\left\llbracket 0,n\right\rrbracket :

    \[\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}\]

Cela dit, voici ce qu’il faut comprendre.
Pour tout n\in\mathbb{N}^{\star} fixé, considérons la liste des coefficients binomiaux qui constituent la n-ème ligne du triangle de Pascal :

    \[L_n=\left[\binom{n}{0},\thinspace\binom{n}{1},\cdots,\binom{n}{n}\right]\]

Il s’agit de prouver que cette liste est croissante jusqu’à l’indice « moitié » (voir plus bas) et décroissante ensuite, comme on peut le constater sur quelques exemples :

  • Pour n=3 :

        \[L_3=\left[1,3,3,1\right]\]

  • Pour n=7 :

        \[L_7=\left[1,7,21,35,35,21,7,1\right]\]

  • Pour n=8 :

        \[L_8=\left[1,8,28,56,70,56,28,8,1\right]\]

On procède avec la liste L_n de la même manière que l’on étudie le sens de variation d’une suite. On peut s’intéresser au signe de la différence :

    \[\binom{n}{k+1}-\binom{n}{k}\]

ou bien – ce qui est certainement plus pratique – comparer à 1 la fraction :

    \[A_{n,k}=\frac{\binom{n}{k+1}}{\binom{n}{k}}\]

Or, on sait que :

    \[\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!\:\left(n-k\right)!}\qquad\text{et}\qquad\binom{n}{k+1}=\frac{n!}{\left(k+1\right)!\left(n-k-1\right)!}\]

et donc :

    \[A_{n,k}=\frac{k!\:\left(n-k\right)!}{\left(k+1\right)!\:\left(n-k-1\right)!}=\frac{n-k}{k+1}\]

Il est alors clair que :

    \[A_{n,k}\geqslant1\Leftrightarrow k+1\leqslant n-k\Leftrightarrow k\leqslant\frac{n-1}{2}\]

Et comme k est entier, cette dernière condition équivaut finalement à :

    \[\boxed{k\leqslant\left\lfloor\frac{n-1}{2}\right\rfloor}\]

où \left\lfloor X\right\rfloor désigne la partie entière du réel X.

Espérant avoir clarifié un peu les choses …

Partager cet article
    
Étiquettes : , ,

La publication a un commentaire

  1. antoinette wasinger 22 Déc 2021 Répondre

    It’s a pity you don’t have a donate button! I’d most certainly donate to this excellent blog!
    I guess for now i’ll settle for bookmarking and adding your RSS feed to my Google account.
    I look forward to new updates and will talk about this site with my Facebook group.
    Talk soon!

Laisser un commentaire