Question

Bonjour, je rentre en prépa scientifique à la rentrée 2019 et je fais des exercices pour m’entraîner. Je bute sur l’exercice suivant.

Résoudre dans \left[0,2\pi\right] l’équation :

    \[ \sin\left(x\right)+\sin\left(3x\right)=\cos\left(x\right)\]

Merci pour toute aide.


Réponse

L’idée, si possible, est d’obtenir un produit nul. (voir l’équation \left(\star\right) ci-dessous).

La formule générale :

    \[\forall\left(p,q\right)\in\mathbb{R}^{2},\thinspace\sin\left(p\right)+\sin\left(q\right)=2\sin\left(\frac{p+q}{2}\right)\cos\left(\frac{p-q}{2}\right)\]

montre que, pour tout x\in\mathbb{R} :

    \[ \sin\left(x\right)+\sin\left(3x\right)=2\sin\left(2x\right)\cos\left(x\right)\]

L’équation proposée équivaut donc à :

    \[ \cos\left(x\right)\left(2\sin\left(2x\right)-1\right)=0\qquad\left(\star\right)\]


ou encore à :

    \[ \cos\left(x\right)=0\textrm{ ou }\sin\left(2x\right)=\frac{1}{2}\]

D’une part, les solutions de \cos\left(x\right)=0 sont les réels de la forme :

    \[ \frac{\pi}{2}+k\pi\qquad\text{avec }k\in\mathbb{Z}\]

D’autre part, l’équation \sin\left(2x\right)=\frac{1}{2} peut aussi s’écrire :

    \[ \sin\left(2x\right)=\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)\]

qui équivaut à :

    \[ \begin{array}{ccc} 2x & = & \frac{\pi}{6}+2k\pi\\  & \text{ou}\\ 2x & = & \pi-\frac{\pi}{6}+2k\pi \end{array}\qquad\text{avec }k\in\mathbb{Z}\]

Finalement, l’ensemble des solutions dans \mathbb{R} est :

    \[ \left\{\frac{\pi}{2}+k\pi;\thinspace k\in\mathbb{Z}\right\} \cup\left\{\frac{\pi}{12}+k\pi;\thinspace k\in\mathbb{Z}\right\} \cup\left\{\frac{5\pi}{12}+k\pi;\thinspace k\in\mathbb{Z}\right\} \]

Il reste à en extraire l’ensemble S des solutions dans \left[0,2\pi\right]. Chacune des conditions :

    \[ k\in\mathbb{Z}\textrm{ et }0\leqslant\frac{\pi}{2}+k\pi\leqslant2\pi\]


    \[ k\in\mathbb{Z}\textrm{ et }0\leqslant\frac{\pi}{12}+k\pi\leqslant2\pi\]


et

    \[ k\in\mathbb{Z}\textrm{ et }0\leqslant\frac{5\pi}{12}+k\pi\leqslant2\pi\]

équivaut à k\in\left{ 0,1\right} . En définitive :

    \[ \boxed{\mathcal{S}=\left\{\frac{\pi}{12},\frac{5\pi}{12},\frac{\pi}{2},\frac{13\pi}{12},\frac{17\pi}{12},\frac{3\pi}{2}\right\} }\]

On peut placer les solutions obtenues sur le cercle trigonométrique :

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