Question

Comment montrer que, pour tout entier naturel n, l’entier 3n^2+5n+7 est impair ?


Réponse

Notons N cet entier. Il suffit de voir qu’on peut écrire :

    \[N=3n(n+1)+2n+7\]

Comme les entiers n et n+1 sont consécutifs, l’un des deux est pairs et donc leur produit est pair. De ce fait 3n(n+1) est pair (car tout multiple d’un entier pair est pair).

Pour finir, 2n+7 est impair et la somme de deux entiers de parités contraires est un entier impair.

En conclusion, N est impair.

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