Comment construire un tableau de signe ?

1 – En bref …

On a parfois besoin de déterminer le signe d’une expression qui dépend d’une variable réelle $x$ .

Notons $E(x)$ une telle expression. Si l’on sait écrire $E(x)$ comme le produit de deux expressions plus simples, disons $E_1(x)$ et $E_2(x)$ , pour chacune desquelles le signe est connu, il suffit d’appliquer la fameuse règle des signes pour conclure.

On présente généralement le résultat dans un tableau qui comporte quatre lignes :

→ une pour $x$
→ une pour $E_1(x)$
→ une pour $E_2(x)$
→ une pour $E(x)=E_1(x)E_2(x)$

Bien entendu, ce principe s’applique tout aussi bien pour un plus grand nombre de facteurs ! Par exemple, si $E( x ) = E_1 ( x ) E_2 ( x ) E_3 ( x )$ , on ajoutera simplement une ligne au tableau …

2 – Un exemple basique

On souhaite déterminer, pour tout $x\in\mathbb{R}$ , le signe de :

$\boxed{E(x)=(x-1)(x-2)}$

On sait que :

$x-1>0\Leftrightarrow x>1\qquad\textrm{et}\qquad x-1=0\Leftrightarrow x=1$

et, de même :

$x-2>0\Leftrightarrow x>2\qquad\textrm{et}\qquad x-2=0\Leftrightarrow x=2$

d’où le tableau incomplet suivant :

La dernière ligne s’obtient alors, comme on l’a expliqué plus haut, grâce à la règle des signes :

Si $x<1$ , alors $x-1<0$ et $x-2<0$ , donc $E(x)>0$
Si $1<x<2$ , alors $x-1>0$ et $x-2<0$ , donc $E(x)<0$
Si $x>2$ , alors $x-1>0$ et $x-2>0$ , donc $E(x)>0$
Si $x=1$ ou $x=2$ , alors $x-1=0$ ou $x-2=0$ , donc $E(x)=0$

On obtient finalement le tableau de signe :

La quantité $E(x)$ est donc :

➡ strictement positive pour $x\in\left]-\infty,1\right[\cup\left]2,+\infty\right[$

➡ nulle pour $x\in\{ 1,2\}$

➡ strictement négative pour $x\in\left]1,2\right[$

3 – Un autre exemple, moins basique

On souhaite déterminer, pour tout $x\in\mathbb{R}$ , le signe de :

$\boxed{F(x)=x^3-2x^2-x+2}$

L’expression $F(x)$ se présente comme une somme. Comme expliqué au début de ce document, on doit d’abord l’écrire comme un produit : autrement dit, la factoriser.

Pour cela, on peut remarquer que, pour tout $x\in\mathbb{R}$ :

$\begin{eqnarray*}F(x) & = & (x^{3}-x)-(2x^{2}-2)\\& = & x(x^{2}-1)-2(x^{2}-1)\\& = & (x^{2}-1)(x-2)\\& = & (x+1)(x-1)(x-2)\end{eqnarray*}$

En suivant alors la même démarche que dans l’exemple précédent, on construit le tableau :

Tout ceci montre que la quantité $F(x)$ est :

➡ strictement positive pour $x\in\left]-1,1\right[\cup\left]2,+\infty\right[$

➡ nulle pour $x\in\{ -1,1,2\}$

➡ strictement négative pour $x\in\left]-\infty,-1\right[\cup\left]1,2\right[$

4 – Un dernier exemple, teinté de trigonométrie

On souhaite déterminer le signe de $G(x)=\sin(2x)+\sin(x)$ pour tout $x\in[0,\pi]$ .

On doit, pour commencer, factoriser $G(x)$ . Pour cela, on utilise la formule de trigonométrie suivante, valable pour tout couple $(p,q)$ de nombres réels :