On calcule successivement :
puis (avec la formule de symétrie) :
et enfin :
Fonction de calcul de écrite en Python 3 :
def binomial (n, k):
c = 1;
for j in range (k):
c = (c * (n-j)) // (j+1)
return c
Un exemple :
>>> binomial (15, 4)
1365
En remplaçant par dans la formule du pion :
on obtient :
Ceci montre que :
Comme , on conclut avec le théorème de Gauss que :
Remarque
L’entier est appelé le n-ème coefficient binomial central.
Quant au rationnel :
il s’agit donc un entier. C’est le n-ème nombre de Catalan.
D’après la formule du binôme :
Autrement dit :
Remarque
Il faut bien voir ici le rôle de l’hypothèse . En effet : .
Passons à une interprétation combinatoire de la formule encadrée. Etant donnés un ensemble E de cardinal n et un entier , il existe parties de E de cardinal k.
Le nombre de parties de E de cardinal pair est :
tandis que le nombre de parties de cardinal impair est :
Or, si l’on note (resp. ) l’ensemble des parties de cardinal pair (resp. impair) de E, et si l’on choisit un élément (ce qui est possible puisque ), alors l’application :
est une bijection.
Détail (cliquer pour déplier / replier)
Il suffit, pour justifier le caractère bijectif de , de considérer l’application
et d’observer que
La première de ces deux relations entraîne la surjectivité de , tandis que la seconde entraîne son injectivité.
Il s’ensuit que , c’est-à-dire . D’après les formules et , on voit maintenant que :
c’est-à-dire :
comme souhaité.
On sait (voir par exemple cet article) que :
Grâce à la formule du pion :
donc :
soit :
Toujours d’après la formule du pion :
donc :
soit :
Après quelques calculs préalables (pour puis : voir les indications), on peut conjecturer la formule suivante, valable pour tout entier toute application et tout :
et l’établir par récurrence. Mais cette démonstration serait en tout point calquée sur celle de la formule du binôme.
Il est nettement plus judicieux de déduire cette formule de celle du binôme, appliquée dans l’anneau des endomorphismes de
Pour cela, considérons :
On voit facilement que les applications et sont linéaires (autrement dit : des endomorphismes de et de plus que :
En outre et donc, pour tout :
La formule annoncée en résulte aussitôt.
Considérons un ensemble de cardinal et formons une partition de en trois sous-ensembles et chacun de cardinal Toute partie de de cardinal est l’union (disjointe) de ses intersections et avec et respectivement.
Posons :
L’application :
est bijective (et sa bijection réciproque est définie par
Il en résulte :
c’est-à-dire :
Remarque
Un point de vue équivalent, quoique plus « algébrique », consiste à calculer de deux façons le coefficient de dans
Fixons et montrons de deux manières que, pour tout :
Solution 1 : par récurrence (cliquer pour déplier / replier)
Pour les deux membres valent 1 par définition. Supposons l’égalité vraie pour un certain Alors :
En écrivant artificiellement :
il vient :
En posant dans l’avant-dernière somme, on obtient :
On isole alors le terme d’indice dans la première somme et celui d’indice dans la seconde :
Finalement, d’après la formule de Pascal :
comme souhaité.
Solution 2 : via le lemme énoncé en fin de cet article (cliquer pour déplier / replier)
Posons, pour tout :
où est arbitraire. On observe que :
Notons la dérivation par rapport à et appliquons le lemme. Il vient :
Or :
et donc :
Il reste à simplifier pour conclure que :
On sait que :
Soit l’unique élément de tel que
On voit que :
et donc :
Posons :
L’égalité peut s’écrire :
Comme et ne sont pas multiples de on conclut que les valuations adiques des entiers et sont égales.
Remarque
Cette question a fait l’objet du challenge n° 30.
Si un point n’est pas clair ou vous paraît insuffisamment détaillé, n’hésitez pas à poster un commentaire ou à me joindre via le formulaire de contact.