

On calcule successivement :

Fonction de calcul de écrite en Python 3 :
def binomial (n, k):
c = 1;
for j in range (k):
c = (c * (n-j)) // (j+1)
return c
Un exemple :
>>> binomial (15, 4)
1365

En remplaçant par
dans la formule du pion :
Ceci montre que :
Comme , on conclut avec le théorème de Gauss que :
Remarque
L’entier est appelé le n-ème coefficient binomial central.
Quant au rationnel :

D’après la formule du binôme :
Autrement dit :
Remarque
Il faut bien voir ici le rôle de l’hypothèse . En effet :
.
Passons à une interprétation combinatoire de la formule encadrée. Etant donnés un ensemble E de cardinal n et un entier , il existe
parties de E de cardinal k.
Le nombre de parties de E de cardinal pair est :
Or, si l’on note (resp.
) l’ensemble des parties de cardinal pair (resp. impair) de E, et si l’on choisit un élément
(ce qui est possible puisque
), alors l’application :
Détail (cliquer pour déplier / replier)
Il suffit, pour justifier le caractère bijectif de , de considérer l’application
et d’observer que
La première de ces deux relations entraîne la surjectivité de , tandis que la seconde entraîne son injectivité.
Il s’ensuit que , c’est-à-dire
. D’après les formules
et
, on voit maintenant que :

On sait (voir par exemple cet article) que :

Après quelques calculs préalables (pour puis
: voir les indications), on peut conjecturer la formule suivante, valable pour tout entier
toute application
et tout
:
Il est nettement plus judicieux de déduire cette formule de celle du binôme, appliquée dans l’anneau des endomorphismes de
Pour cela, considérons :






Considérons un ensemble de cardinal
et formons une partition de
en trois sous-ensembles
et
chacun de cardinal
Toute partie
de
de cardinal
est l’union (disjointe) de ses intersections
et
avec
et
respectivement.

Posons :

Il en résulte :
Remarque
Un point de vue équivalent, quoique plus « algébrique », consiste à calculer de deux façons le coefficient de dans

Fixons et montrons de deux manières que, pour tout
:
Solution 1 : par récurrence (cliquer pour déplier / replier)
Pour les deux membres valent 1 par définition. Supposons l’égalité vraie pour un certain
Alors :
En écrivant artificiellement :
il vient :
En posant

On isole alors le terme d’indice


Finalement, d’après la formule de Pascal :
comme souhaité.
Solution 2 : via le lemme énoncé en fin de cet article (cliquer pour déplier / replier)
Posons, pour tout :
où

Notons


et donc :
Il reste à simplifier pour conclure que :

On sait que :



On voit que :
Posons :







Remarque
Cette question a fait l’objet du challenge n° 30.
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